Задача №08449

В доме Мити больше этажей, чем в доме Маши, в доме Лены меньше этажей, чем в доме Маши, а в доме Толи больше этажей, чем в Ленином доме. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Дом Лены самый малоэтажный среди перечисленных четырёх.
2) В доме Маши меньше этажей, чем в доме Лены.
3) В Митином доме больше этажей, чем в Ленином.
4) Среди этих четырёх домов есть три дома с одинаковым числом этажей.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Обозначим количество этажей: Митя — $M\text{,}$ Маша — $Ma\text{,}$ Лена — $L\text{,}$ Толя — $T\text{.}$

Условия:
1) $M>Ma$
2) $L<Ma$
3) $T>L$

Из 1 и 2: $M>Ma>L\text{,}$ значит $M>L$ (это утверждение 3).

Из 3: $T>L\text{,}$ но про сравнение $T$ с $M$ и $Ma$ ничего не известно.

Проверим утверждения:

1. Дом Лены самый малоэтажный среди перечисленных четырёх.

Из $M>Ma>L$ следует, что $L$ меньше $M$ и $Ma\text{.}$ Но $T>L\text{,}$ при этом $T$ может быть как больше, так и меньше $M$ и $Ma\text{.}$ Например, если $T=L+1\text{,}$ а $Ma=L+2\text{,}$ $M=L+3\text{,}$ то $L$ — наименьший. Если $T$ меньше $L\text{?}$ Нет, $T>L\text{,}$ значит $L$ меньше всех? Сравним: $L<Ma\text{,}$ $L<M$ (т.к. $M>Ma>L$), и $L<T$ (по условию). Значит $L$ меньше всех четырёх. Утверждение верно.

2. В доме Маши меньше этажей, чем в доме Лены.

Неверно, т.к. $L<Ma\text{.}$

3. В Митином доме больше этажей, чем в Ленином.

Верно, как показано выше: $M>Ma>L\Rightarrow M>L\text{.}$

4. Среди этих четырёх домов есть три дома с одинаковым числом этажей.

Неверно. Условия не требуют равенства, можно подобрать все разные: $L=1\text{,}$ $T=2\text{,}$ $Ma=3\text{,}$ $M=4$ — все разные. Значит утверждение не следует из условий.

Ответ: 13