Задача №08441

Некоторые сотрудники фирмы зимой ездили на курсы повышения квалификации в Пятигорск. Весной было решено, что некоторые сотрудники поедут на стажировку в Волгоград, причём среди них не будет тех, кто ездил на курсы повышения квалификации в Пятигорск. Выберите утверждения, которые будут верны при указанных условиях, не зависимо от того, какие сотрудники поедут на стажировку в Волгоград.

1. Найдётся сотрудник, который не ездил на курсы в Пятигорск и не поедет на стажировку в Волгоград.

2. Среди сотрудников этой фирмы, которые не поедут на стажировку в Волгоград, есть хотя бы один, который посещал курсы в Пятигорске.

3. Каждый сотрудник, который не был на курсах в Пятигорске, поедет на стажировку в Волгоград.

4. Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который посетил курсы в Пятигорске и поедет на стажировку в Волгоград.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Дано: некоторые сотрудники ездили в Пятигорск (множество $P$). Некоторые поедут в Волгоград (множество $V$), причём среди них не будет тех, кто ездил в Пятигорск (т.е. $P$ и $V$ не пересекаются). Утверждения должны быть верны независимо от того, какие именно сотрудники поедут в Волгоград.

Анализ утверждений:

1. Найдётся сотрудник, который не ездил на курсы в Пятигорск и не поедет на стажировку в Волгоград.

Из условия: некоторые ездили в Пятигорск, некоторые поедут в Волгоград, но эти множества не пересекаются. Однако возможно, что все сотрудники либо в $P\text{,}$ либо в $V\text{,}$ и тогда не останется сотрудников вне обоих множеств. Например, если фирма состоит только из тех, кто ездил в Пятигорск, и тех, кто поедет в Волгоград, и эти множества не пересекаются, но вместе покрывают всех сотрудников, то сотрудника вне обоих множеств не найдётся. Утверждение не обязательно верно. Неверно.

2. Среди сотрудников этой фирмы, которые не поедут на стажировку в Волгоград, есть хотя бы один, который посещал курсы в Пятигорске.

Из условия: некоторые ездили в Пятигорск, но все, кто ездил в Пятигорск, не поедут в Волгоград. Значит, все, кто в $P\text{,}$ не в $V\text{,}$ т.е. они находятся среди не едущих в Волгоград. Но если в Пятигорск ездил хотя бы один сотрудник, то он и будет тем, кто не поедет в Волгоград и при этом посещал курсы. Однако условие говорит "некоторые сотрудники ездили", значит, таких хотя бы один есть. Следовательно, утверждение верно. Верно.

3. Каждый сотрудник, который не был на курсах в Пятигорске, поедет на стажировку в Волгоград.

Не обязательно. Могут быть сотрудники, которые не были в Пятигорске и не поедут в Волгоград. Условие не требует, чтобы все не-пятигорские ехали в Волгоград. Неверно.

4. Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который посетил курсы в Пятигорске и поедет на стажировку в Волгоград.

Это прямо следует из условия: "среди них не будет тех, кто ездил на курсы повышения квалификации в Пятигорск". Значит, пересечение $P$ и $V$ пусто. Верно.

Верные утверждения: 2 и 4.