Задача №08434

Некоторые учащиеся школы съели за завтраком булочку с повидлом. Некоторые учащиеся этой школы на обед получат сочник, причём среди них не будет тех, кто съел за завтраком булочку. Выберите все утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, кому достанутся сочники.

1) Каждый учащийся, который не съел булочку за завтраком, получит сочник на обед.
2) Найдётся учащийся, который не съел булочку за завтраком и не получит сочник на обед.
3) Среди учащихся этой школы, которым не достанется сочник на обед, есть хотя бы один, который съел булочку за завтраком.
4) Нет ни одного учащегося этой школы, который съел булочку за завтраком и получит сочник на обед.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Условие:

• Некоторые учащиеся съели булочку ($Б$).
• Некоторые получат сочник ($С$).
• Среди получающих сочник не будет тех, кто съел булочку (т.е. множества $Б$ и $С$ не пересекаются, $Б\cap С=\varnothing$).

Анализ утверждений:

1) "Каждый, кто не съел булочку, получит сочник" — не обязательно. Может быть учащийся, который не съел булочку и не получит сочник. Утверждение неверно.

2) "Найдётся учащийся, который не съел булочку и не получит сочник" — проверим, верно ли это независимо от распределения. По условию, $Б$ и $С$ — непустые множества, $Б\cap С=\varnothing \text{.}$ Если $С=\overline{Б}$ (дополнение $Б$), то каждый не съевший булочку получит сочник, и тогда такого учащегося (не $Б$ и не $С$) не найдётся. Следовательно, утверждение не обязательно верно при любом распределении. Утверждение неверно.

3) "Среди тех, кому не достанется сочник, есть хотя бы один, который съел булочку" — по условию, все, кто съел булочку, не получат сочник (так как $Б\cap С=\varnothing$), поэтому множество $Б$ полностью содержится в множестве не-$С\text{.}$ Поскольку $Б$ непустое, в не-$С$ есть хотя бы один элемент из $Б\text{.}$ Утверждение верно независимо от распределения.

4) "Нет ни одного учащегося, который съел булочку и получит сочник" — это прямо следует из условия ($Б\cap С=\varnothing$). Утверждение верно.

Ответ: 34