Задача №08431

В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.
2) Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.
3) Не более 20 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.
4) В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Всего студентов: 30. Сдали экономику: 20, сдали английский: 20.
Используем формулу включений-исключений:
Пусть $x$ — число студентов, сдавших оба зачёта. Тогда число сдавших хотя бы один: $20+20-x=40-x\text{.}$
Это число не может превышать общее число студентов (30), поэтому $40-x⩽30\Rightarrow x⩾10\text{.}$
Также $x$ не может превышать 20 (так как не больше числа сдавших каждый предмет).
Число не сдавших ни одного: $30-(40-x)=x-10\text{.}$

Анализ утверждений:
1) "Найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного" — число не сдавших ни одного $=x-10\text{.}$ Минимальное значение $x=10\text{,}$ тогда не сдавших ни одного $=0\text{.}$ Максимальное $x=20\text{,}$ тогда не сдавших ни одного $=10\text{.}$ Значит, не может быть 11. Утверждение неверно.
2) "Хотя бы 10 студентов сдали оба зачёта" — мы получили $x⩾10\text{,}$ значит, хотя бы 10. Утверждение верно.
3) "Не более 20 студентов сдали оба зачёта" — $x⩽20\text{,}$ так как не больше числа сдавших каждый предмет. Утверждение верно.
4) "Найдётся 20 студентов, которые не сдали английский, но сдали экономику" — число сдавших экономику, но не английский $=20-x\text{.}$ При $x=10$ это равно 10, при $x=20$ это равно 0. Максимум таких студентов — 10. 20 таких быть не может. Утверждение неверно.

Ответ: 23