Задача №08424

В фирме работает 60 сотрудников, из них 50 человек знают английский язык, а 15 — французский.

Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он знает и французский.
2) Хотя бы три сотрудника этой фирмы знают и английский, и французский языки.
3) Не более 15 сотрудников этой фирмы знают и английский, и французский языки.
4) В этой фирме нет ни одного человека, знающего и английский, и французский языки.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Дано: всего 60 сотрудников, 50 знают английский $A\text{,}$ 15 знают французский $F\text{.}$

Используем формулу включений-исключений:

$$|A\cup F|=|A|+|F|-|A\cap F|⩽60.$$

Подставим:

$$50+15-|A\cap F|⩽60\Rightarrow 65-|A\cap F|⩽60\Rightarrow |A\cap F|⩾5.$$

Значит, хотя бы 5 человек знают оба языка. Также $|A\cap F|⩽\min (50,15)=15\text{.}$

Проверим утверждения:

1) Если сотрудник знает английский, то он знает и французский.
Неверно. Из 50 знающих английский только не более 15 знают французский, значит есть те, кто знает только английский.

2) Хотя бы три сотрудника знают и английский, и французский.
Верно. Мы нашли, что $|A\cap F|⩾5\text{,}$ значит хотя бы 5, что больше 3.

3) Не более 15 сотрудников знают оба языка.
Верно. Пересечение не может превышать меньшую из групп (15).

4) В фирме нет ни одного человека, знающего оба языка.
Неверно. Мы нашли, что таких минимум 5.

Ответ: 2 и 3