Задача №08386

Для каждой точки проанализируем положение соответствующей ей точки на графике функции $y=f(x)$ и поведение функции в этой точке (возрастает, убывает или находится в точке экстремума):

1. Точка $A$:

• Точка на графике лежит на оси $Ox\text{,}$ следовательно, значение функции равно нулю: $f(A)=0\text{.}$
• График функции в этой точке идёт вниз (функция убывает), значит, значение производной отрицательно: $f^{\prime }(A)<0\text{.}$
• Это соответствует характеристике под номером 3: значение производной функции в точке отрицательно, а значение функции в точке равно 0.

2. Точка $B$:

• Соответствующая точка на графике лежит ниже оси $Ox\text{,}$ следовательно, значение функции отрицательно: $f(B)<0\text{.}$
• Точка является точкой минимума (касательная горизонтальна), значит, значение производной равно нулю: $f^{\prime }(B)=0\text{.}$
• Это соответствует характеристике под номером 1: значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке равно 0.

3. Точка $C$:

• Соответствующая точка на графике лежит ниже оси $Ox\text{,}$ следовательно, значение функции отрицательно: $f(C)<0\text{.}$
• В окрестности этой точки график идёт вверх (функция возрастает), значит, значение производной положительно: $f^{\prime }(C)>0\text{.}$
• Это соответствует характеристике под номером 4: значение производной функции в точке положительно, а значение функции в точке отрицательно.

4. Точка $D$:

• Соответствующая точка на графике лежит выше оси $Ox\text{,}$ следовательно, значение функции положительно: $f(D)>0\text{.}$
• Точка является точкой максимума (касательная горизонтальна), значит, значение производной равно нулю: $f^{\prime }(D)=0\text{.}$
• Это соответствует характеристике под номером 2: значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке равно 0.

Запишем полученные соответствия в таблицу: