Задача №08369

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A,B,C$ и $D$ на оси $Ox\text{.}$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

Характеристики:
1. Значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно.
2. Значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно.
3. Значение функции в точке положительно и значение производной функции в точке положительно.
4. Значение функции в точке отрицательно и значение производной функции в точке отрицательно.

Для определения характеристик функции и её производной в заданных точках воспользуемся следующими геометрическими свойствами:

1. Знак функции $f(x)\text{:}$

• если точка графика находится выше оси $Ox\text{,}$ то значение функции в этой точке положительно ($f(x)>0$);
• если точка графика находится ниже оси $Ox\text{,}$ то значение функции в этой точке отрицательно ($f(x)<0$).

2. Знак производной $f^{\prime }(x)\text{:}$

• если функция возрастает в окрестности точки, то значение её производной в этой точке положительно ($f^{\prime }(x)>0$);
• если функция убывает в окрестности точки, то значение её производной в этой точке отрицательно ($f^{\prime }(x)<0$).

Проанализируем каждую точку:

• Точка $A\text{:}$ точка на графике расположена выше оси $Ox$ ($f(A)>0$), и функция в её окрестности убывает ($f^{\prime }(A)<0$). Это соответствует характеристике 1 (значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно).
• Точка $B\text{:}$ точка на графике расположена ниже оси $Ox$ ($f(B)<0$), и функция в её окрестности возрастает ($f^{\prime }(B)>0$). Это соответствует характеристике 2 (значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно).
• Точка $C\text{:}$ точка на графике расположена выше оси $Ox$ ($f(C)>0$), и функция в её окрестности возрастает ($f^{\prime }(C)>0$). Это соответствует характеристике 3 (значение функции в точке положительно и значение производной функции в точке положительно).
• Точка $D\text{:}$ точка на графике расположена ниже оси $Ox$ ($f(D)<0$), и функция в её окрестности убывает ($f^{\prime }(D)<0$). Это соответствует характеристике 4 (значение функции в точке отрицательно и значение производной функции в точке отрицательно).

Запишем полученное соответствие цифр для точек $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{:}$

Ответ: 1234.