Задача №08365

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс):

$$f^{\prime }(x_0)=k=\tan \alpha$$

Если касательная возрастает (наклонена под острым углом к оси $Ox$), то производная в этой точке положительна. Если касательная убывает (наклонена под тупым углом к оси $Ox$), то производная отрицательна. Чем круче касательная направлена вверх или вниз, тем больше абсолютное значение (модуль) производной.

Разделим точки на две группы по знаку производной:

1. Положительные значения производной (касательная возрастает): это точки $A$ и $D\text{.}$
Среди предложенных значений положительными являются $2$ и $\frac{5}{13}\text{.}$

• В точке $A$ касательная более крутая, поэтому значение производной в ней больше: ему соответствует число $2$ (вариант 2).
• В точке $D$ касательная менее крутая, поэтому значение производной меньше: ему соответствует число $\frac{5}{13}$ (вариант 3).

2. Отрицательные значения производной (касательная убывает): это точки $B$ и $C\text{.}$
Среди предложенных значений отрицательными являются $-\frac{2}{15}$ и $-1\frac{2}{15}\text{.}$

• В точке $B$ касательная убывает более круто, то есть значение производной дальше от нуля (меньше): ему соответствует число $-1\frac{2}{15}$ (вариант 4).
• В точке $C$ касательная убывает очень полого, то есть значение производной близко к нулю: ему соответствует число $-\frac{2}{15}$ (вариант 1).

Запишем соответствие в таблицу:

Таким образом, получаем последовательность цифр: 2413.