Задача №08349

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D$ на оси $Ox\text{.}$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

1. Значение производной функции положительно, а значение функции отрицательно.
2. Значение функции отрицательно, а значение производной функции равно 0.
3. Значение производной функции отрицательно, а значение функции равно 0.
4. Значение функции положительно, а значение производной функции отрицательно.

Рассмотрим поведение функции $y=f(x)$ и её производной в каждой из отмеченных точек:

1. Точка $A\text{:}$

• график функции пересекает ось $Ox\text{,}$ то есть значение функции равно нулю: $f(A)=0\text{;}$
• в окрестности точки $A$ функция убывает (график идёт сверху вниз), следовательно, значение производной отрицательно: $f^{\prime }(A)<0\text{.}$
  Это соответствует характеристике №3.

2. Точка $B\text{:}$

• график находится ниже оси $Ox\text{,}$ то есть значение функции отрицательно: $f(B)<0\text{;}$
• в этой точке функция имеет локальный минимум (касательная к графику горизонтальна), поэтому значение производной равно нулю: $f^{\prime }(B)=0\text{.}$
  Это соответствует характеристике №2.

3. Точка $C\text{:}$

• график находится ниже оси $Ox\text{,}$ то есть значение функции отрицательно: $f(C)<0\text{;}$
• функция в точке $C$ возрастает (график идёт снизу вверх), значит, значение производной положительно: $f^{\prime }(C)>0\text{.}$
  Это соответствует характеристике №1.

4. Точка $D\text{:}$

• график находится выше оси $Ox\text{,}$ то есть значение функции положительно: $f(D)>0\text{;}$
• функция в точке $D$ убывает, следовательно, значение производной отрицательно: $f^{\prime }(D)<0\text{.}$
  Это соответствует характеристике №4.

Получим соответствие: $A$ — 3, $B$ — 2, $C$ — 1, $D$ — 4.

Ответ: 3214.