Задача №08323

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$

В правом столбце указаны значения производной функции в точках $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

А) точка $A$

Б) точка $B$

В) точка $C$

Г) точка $D$

1) $\frac{2}{3}$

2) $-\frac{1}{2}$

3) $-1\frac{1}{3}$

4) $1\frac{2}{3}$

В ответе запишите цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: АБВГ.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке:

$$f^{\prime }(x_0)=k=\mathrm{tg}\alpha$$

где $\alpha$ — угол наклона касательной к положительному направлению оси $Ox\text{.}$

1. Если касательная возрастает (наклонена вверх), то производная положительна (угол наклона острый). Чем круче направлена касательная вверх, тем больше значение производной.
2. Если касательная убывает (наклонена вниз), то производная отрицательна (угол наклона тупой). Чем круче направлена касательная вниз, тем меньше значение производной (больше по модулю).

Проанализируем график и сопоставим точки со значениями производной:

• В точке $A$ касательная возрастает (производная положительна) и имеет более крутой наклон, чем в точке $D\text{.}$ Из положительных значений $\frac{2}{3}$ (вариант 1) и $1\frac{2}{3}$ (вариант 4) точке $A$ соответствует большее значение: $1\frac{2}{3}$ (вариант 4).
• В точке $B$ касательная убывает (производная отрицательна) и имеет более крутой наклон, чем в точке $C\text{.}$ Из отрицательных значений $-\frac{1}{2}$ (вариант 2) и $-1\frac{1}{3}$ (вариант 3) точке $B$ соответствует меньшее значение (большее по модулю): $-1\frac{1}{3}$ (вариант 3).
• В точке $C$ касательная убывает (производная отрицательна) и имеет менее крутой наклон, чем в точке $B\text{.}$ Следовательно, точке $C$ соответствует значение $-\frac{1}{2}$ (вариант 2).
• В точке $D$ касательная возрастает (производная положительна) и имеет менее крутой наклон, чем в точке $A\text{.}$ Следовательно, точке $D$ соответствует значение $\frac{2}{3}$ (вариант 1).

Получаем соответствие:

• $A\to 4$
• $B\to 3$
• $C\to 2$
• $D\to 1$

Таким образом, в ответе записываем последовательность цифр: 4321.