Задача №08284

На рисунке изображён график функции $y=f(x)\text{.}$ Числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ и $e$ задают на оси $Ox$ интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

Интервалы:

1. $(a;b)$
2. $(b;c)$
3. $(c;d)$
4. $(d;e)$

Характеристики:

1. значение производной функции положительно в каждой точке интервала, а функция принимает как отрицательные, так и положительные значения
2. функция и её производная принимают как положительные, так и отрицательные значения
3. значение функции и её производной положительны в каждой точке интервала
4. значение функции положительно в каждой точке интервала, а производная функции принимает как положительные, так и отрицательные значения

В ответе запишите подряд цифры, соответствующие интервалам $(a;b)\text{,}$ $(b;c)\text{,}$ $(c;d)\text{,}$ $(d;e)\text{.}$

Разберём поведение функции $y=f(x)$ и её производной $f^{\prime }(x)$ на каждом интервале, пользуясь графиком. Знак функции определяем по тому, выше или ниже оси $Ox$ лежит график; знак производной — по тому, возрастает функция ($f^{\prime }>0$) или убывает ($f^{\prime }<0$).

Интервал $(a;b)\text{.}$ В точке $a$ график пересекает ось $Ox\text{,}$ а далее, вплоть до точки $b\text{,}$ он лежит выше оси, поэтому функция положительна во всех точках интервала. Сначала функция возрастает до максимума ($f^{\prime }>0$), затем убывает ($f^{\prime }<0$), значит производная принимает как положительные, так и отрицательные значения. Это характеристика 4.

Интервал $(b;c)\text{.}$ График сначала идёт сверху вниз через ось $Ox$ в область отрицательных значений, достигает минимума и снова поднимается; вблизи $b$ функция положительна, а в большей части интервала и у точки $c$ — отрицательна. Значит функция принимает и положительные, и отрицательные значения. Производная сначала отрицательна (убывание до минимума), затем положительна (возрастание), то есть тоже принимает оба знака. Это характеристика 2.

Интервал $(c;d)\text{.}$ График монотонно возрастает, поэтому производная положительна в каждой точке интервала. При этом вблизи $c$ функция отрицательна, а у точки $d$ — положительна (график пересекает ось $Ox$ внутри интервала), значит функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Это характеристика 1.

Интервал $(d;e)\text{.}$ График лежит выше оси $Ox$ и монотонно возрастает, поэтому и функция, и её производная положительны в каждой точке интервала. Это характеристика 3.

Запишем соответствие интервалам $(a;b)\text{,}$ $(b;c)\text{,}$ $(c;d)\text{,}$ $(d;e)$ подряд.

Ответ: 4213