Часть 2, задание 6: Сложная задача — ДВИ

О задании 6 (Сложная задача)

Шестая задача письменного ДВИ по математике — это своеобразный водораздел. Она отделяет тех, кто просто хорошо усвоил школьную программу, от тех, кто готов к серьезной университетской математике. Здесь редко встречаются шаблонные алгоритмы.

В этом задании проверяется умение мыслить нестандартно, комбинировать алгебру с геометрией или логикой, аккуратно перебирать случаи и доказывать каждый свой шаг. Зачастую задача выглядит пугающе, но после правильной группировки, удачной подстановки или геометрической интерпретации сводится к нескольким простым строкам.

Какие темы встречаются

В банке шестого задания чаще всего попадаются следующие сюжеты:

Задачи с параметрами: квадратные уравнения и неравенства, исследование расположения корней (относительно числа и относительно отрезка), системы уравнений (графический метод).
Метод мажорант (оценки и экстремумы): уравнения, которые не решаются алгебраически, но решаются через поиск минимумов и максимумов левой и правой частей.
Текстовые и числовые задачи на оптимальный выбор: сюжеты с целочисленными ограничениями (диофантовы уравнения, разложение на множители), где нужно найти максимум, минимум или перечислить все решения.
Логические задачи: использование свойств функций (монотонность, чётность, периодичность) для доказательства единственности решения.

Общий алгоритм подхода

Эти пункты — не самостоятельные методы, а навигатор: они подсказывают, к какому из разобранных ниже методов идти. Сами методы (расположение корней, мажоранты, целочисленные приёмы, монотонность) изложены в разделе «Ключевые методы».

1. Поиск «подвоха». Если уравнение выглядит как «монстр» (содержит радикалы, тригонометрию и многочлены одновременно) — не пытайся сразу возводить в квадрат. Сначала проверь, не ограничены ли части сверху/снизу — это сигнал к методу мажорант.
2. Выделение полных квадратов. В любой непонятной алгебраической ситуации выделяй полные квадраты — это ключ к методу оценок (получаешь $(x - x_{0})^{2} + y_{0} ⩾ y_{0}$ ).
3. Графический перевод. Если в задаче с параметром есть модули, корни или уравнения окружностей — нарисуй эскиз на координатной плоскости. Половина задач решается через касание графиков.
4. Сведение к квадратному трёхчлену. Многие сложные системы уравнений с параметром становятся простыми, если рассмотреть их как квадратное уравнение относительно одной из переменных или самого параметра — дальше работает теория расположения корней.
5. Свойства функции для единственности. Если уравнение вида $f (x) = g (x),$ где одна часть возрастает, а другая убывает, — корень один, его достаточно угадать и сослаться на монотонность.

Ключевые методы и формулы

Опорные формулы (лист на ДВИ не выдают)

На ДВИ нет листа формул, поэтому базовые опоры держим в голове и при необходимости выводим прямо на экзамене одной строкой. Подробности — см. справочник, разделы 1 и 4.

ВАЖНОЕ

Опоры для задания 6

Квадратный трёхчлен. $f (x) = a x^{2} + b x + c,$ дискриминант $D = b^{2} - 4 a c .$
Вершина: $x_{0} = - \frac{b}{2 a},$ ордината вершины $y_{0} = c - \frac{b ^{2}}{4 a} .$
Каноническая форма: $a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + y_{0} .$ При $a > 0$ величина $y_{0}$ — минимум трёхчлена.
Теорема Виета (при $a \neq = 0, D ⩾ 0$ ): $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$
Опорные оценки (мажоранты):

a + \frac{1}{a} ⩾ 2 (a > 0), a + \frac{1}{a} ⩽ - 2 (a < 0) .

Вывод за одну строку (при $a > 0$): $\left(\sqrt{a} - \dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 \geqslant 0 \iff a - 2 + \dfrac{1}{a} \geqslant 0 \iff a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2\text{.}$

∣ sin x ∣ ⩽ 1, ∣ cos x ∣ ⩽ 1, a x^{2} + b x + c ⩾ y_{0} (a > 0) .

AM–GM (среднее арифметическое $⩾$ среднее геометрическое) для неотрицательных $a_{1}, \dots, a_{n} :$

\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} ⩾ n a_{1} \dots a_{n}, равенство ⟺ a_{1} = \dots = a_{n} .

Расположение корней квадратного трёхчлена

Самый мощный аналитический инструмент для задач с параметрами. Позволяет не вычислять сами корни (которые могут содержать жуткие радикалы), а работать с дискриминантом, вершиной параболы и значениями функции на концах интервалов.

ВАЖНОЕ

Корни относительно заданного числа M

Пусть дан трёхчлен $f (x) = a x^{2} + b x + c,$ где $a > 0 .$ Пусть $x_{1}, x_{2}$ — его корни, а $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ — вершина параболы.

1. Оба корня больше $M :$
$⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 x_{0} > M f (M) > 0$
2. Оба корня меньше $M :$
$⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 x_{0} < M f (M) > 0$
3. Корни лежат по разные стороны от $M$ ( $x_{1} < M < x_{2}$ ):
$f (M) < 0$ (условия на $D$ и $x_{0}$ не нужны!)

Если старший коэффициент $a$ зависит от параметра и может быть отрицательным, условия видоизменяются: вместо $f (M) > 0$ используют $a \cdot f (M) > 0$ (универсальная запись, работающая при любом знаке $a$ ).

ВАЖНОЕ

Корни относительно отрезка (интервала) (M; N)

Для $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (универсальная запись через $a \cdot f,$ годная при любом знаке $a$ ):

Оба корня внутри $(M; N) :$
$⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 M < x_{0} < N a f (M) > 0 a f (N) > 0$
Ровно один корень внутри $(M; N) :$
$f (M) \cdot f (N) < 0$ (краевые случаи $f (M) = 0$ или $f (N) = 0$ проверяй отдельно)

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Граничный случай

f (M) = 0

Если при найденном значении параметра $f (M) = 0,$ то $M$ — корень. Это не автоматически даёт нужное расположение: нужно отдельно посмотреть, где лежит второй корень, и попадает ли $M$ в требуемое множество. Именно этот анализ решает, включается ли конец промежутка параметра в ответ.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вырожденный случай (старший коэффициент = 0)

Ошибка: Решать уравнение $(a - 1) x^{2} + 2 x + a = 0$ через условия для параболы, забыв проверить $a = 1 .$
Правильно: Всегда начинай анализ с обнуления старшего коэффициента. Если $a = 1,$ уравнение становится линейным $2 x + 1 = 0,$ и этот случай нужно включить в проверку условия задачи отдельно.

Меняйте a, b, c и наблюдайте вершину, дискриминант и отмеченные действительные корни

Метод мажорант (Оценки)

Метод применяется, когда уравнение имеет вид $f (x) = g (x),$ при этом из свойств функций известно, что $f (x) ⩾ A,$ а $g (x) ⩽ A .$ Уравнение имеет решение только в том случае, если левая и правая части одновременно равны $A :$

f (x) = g (x) ⟺ {f (x) = A g (x) = A

ВАЖНОЕ

Классические оценки (мажоранты)

$a + \frac{1}{a} ⩾ 2$ (при $a > 0$ )
$a + \frac{1}{a} ⩽ - 2$ (при $a < 0$ )
$a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + y_{0} ⩾ y_{0}$ (при $a > 0$ ), где $y_{0} = c - \frac{b ^{2}}{4 a}$ — ордината вершины параболы (минимум трёхчлена)
$∣ sin x ∣ ⩽ 1,$ $∣ cos x ∣ ⩽ 1$
сумма неотрицательных $= 0 ⟺$ каждое слагаемое $= 0$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Главный капкан метода: экстремумы в РАЗНЫХ точках

Записать «обе части равны $A$ » мало. Нужно проверить, что точка, в которой левая часть достигает своего минимума $A,$ совпадает с точкой, где правая часть достигает максимума $A .$ Если минимум одной части и максимум другой берутся при разных значениях переменной — система равенств несовместна и уравнение не имеет решений, хотя формально «обе части могли бы равняться $A$ ». Это самая частая ошибка метода: см. Пример 3.

Целочисленные и диофантовы задачи

Когда в задаче №6 требуется найти все целые (натуральные) решения или максимум/минимум при целочисленных ограничениях, алгебраические методы не работают «в лоб» — нужны приёмы теории чисел. Подробные формулы — см. справочник, раздел 6.

ВАЖНОЕ

Рабочие приёмы для целых решений

Разложение на множители. Привести уравнение к виду $(\cdot) (\cdot) = N,$ где $N$ — фиксированное число, и перебрать пары делителей $N$ (включая отрицательные!). Помогает группировка $x y + a x + b y = (x + b) (y + a) - ab .$
Линейное диофантово $a x + b y = c$ разрешимо в целых $⟺ НОД (a, b) ∣ c .$ Общее решение: $x = x_{0} + \frac{b}{d} t, y = y_{0} - \frac{a}{d} t,$ где $d = НОД (a, b), t \in Z .$
Оценка/перебор по неравенству. Если на переменную есть ограничение (например, $x, y > 0$ и связаны уравнением), выразить одну через другую и перебрать конечное число допустимых значений.
Остатки. Проверить уравнение по подходящему модулю ( $mod 3, mod 4, mod 8$ ): иногда решений нет вовсе. Напомним: $x^{2} mod 4 \in {0, 1},$ $x^{2} mod 3 \in {0, 1} .$

Монотонность и единственность решения

Логические задачи №6 часто просят доказать, что корень один (или найти все, доказав, что других нет). Чисто алгебраически такое уравнение может не решаться — спасают свойства функций.

ВАЖНОЕ

Признак единственности корня

Если уравнение приведено к виду $φ (x) = C$ (или $f (x) = g (x)$ ), и при этом:

функция $φ$ строго монотонна (всюду возрастает или всюду убывает) на области определения,

то уравнение имеет не более одного корня. Достаточно угадать один корень и сослаться на монотонность.

Частный вид: если $f$ строго возрастает, а $g$ строго убывает, то $f (x) = g (x)$ имеет не более одного решения. Чётность/периодичность используют, чтобы свести задачу к одному периоду или к $x ⩾ 0 .$

Примеры решений

ПРИМЕР 1

Метод оценок (Мажоранты)

Условие. Реши уравнение $x^{2} - 4 x + 5 + y^{2} + 6 y + 10 = 2 cos (2 π (x + y)) .$

ПРИМЕР 2

Параметры и расположение корней относительно числа

Условие. Найди все значения параметра $a,$ при которых оба корня уравнения $x^{2} - 2 (a - 1) x + a^{2} - 5 a + 6 = 0$ строго меньше $3 .$

ПРИМЕР 3

Капкан мажорант — экстремумы в разных точках

Условие. Реши уравнение $sin π x = x^{2} - 2 x + 2 .$

✓СОВЕТ

Мораль

Если бы мы механически написали « $sin π x = 1$ и $(x - 1)^{2} + 1 = 1$ » и стали решать систему, мы получили бы $x = 1$ из второго уравнения, подставили бы в первое — и обнаружили противоречие. Именно эта проверка совместности и спасает от ложного «ответа».

ПРИМЕР 4

Расположение корней относительно отрезка

Условие. При каких значениях параметра $a$ оба корня уравнения $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 = 0$ принадлежат интервалу $(0; 4) ?$

ПРИМЕР 5

Ровно один корень на интервале

Условие. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^{2} - 2 x + a = 0$ имеет ровно один корень на интервале $(0; 3) ?$

ПРИМЕР 6

Целочисленная (диофантова) задача — разложение на множители

Условие. Найди все пары натуральных чисел $(x; y),$ удовлетворяющие уравнению $x y - 2 x - 3 y = 7 .$

ПРИМЕР 7

Логика — единственность корня через монотонность

Условие. Реши уравнение $3^{x} + 4^{x} = 5^{x} .$

✓СОВЕТ

Когда работает приём

Схема «угадал корень + доказал монотонность» применима всякий раз, когда уравнение приводится к виду «возрастающая $=$ убывающая» или «монотонная $=$ const». Для уравнений с чётными функциями сначала сводят к $x ⩾ 0,$ для периодических — к одному периоду.

ПРИМЕР 8

Вырожденный старший коэффициент и знак

a \cdot f (M)

Условие. При каких значениях параметра $a$ оба корня уравнения $(a - 1) x^{2} - 2 a x + (a + 3) = 0$ положительны?

✓СОВЕТ

Зачем тут модуль-знак

a \cdot f (M)

Если бы мы написали просто $f (0) > 0,$ то при отрицательном старшем коэффициенте (ветви вниз) условие было бы неверным. Запись $(a - 1) f (0) > 0$ автоматически подстраивается под знак старшего коэффициента — она универсальна.

ОДЗ и контроль корней при возведении в степень

Если оценить части не удаётся и приходится возводить в квадрат иррациональное уравнение, помни про два источника ошибок (детали — справочник, раздел 4):

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Возведение в квадрат

ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны: для $f$ нужно $f ⩾ 0 .$ Выпиши ОДЗ до преобразований.
Знак правой части. $f = g ⟺ {f = g^{2} g ⩾ 0$ — условие $g ⩾ 0$ обязательно, иначе появятся посторонние корни.
Проверка. После возведения в квадрат всегда подставляй найденные корни в исходное уравнение: возведение — не равносильное преобразование, оно может добавить лишние решения.

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ оценивают не только финальную цифру: за «существенное продвижение» (выписанную систему условий, верную идею метода) дают часть баллов даже при арифметической ошибке в конце. Поэтому решение пишут так, чтобы каждый шаг был виден и обоснован.

✓СОВЕТ

Эталон полного решения задачи №6 (на примере расположения корней)

1. Назвал функцию и метод. «Пусть $f (x) = \dots,$ $a > 0$ — ветви вверх. Условие "оба корня $< 3$ " равносильно системе…» — сразу выписана система условий.
2. Каждое условие — отдельной строкой с выводом. $D,$ $x_{0},$ $f (M)$ посчитаны явно, без «устного» пропуска.
3. Пересечение промежутков показано. Сравнение границ ( $37$ оценено, числа упорядочены) — не «очевидно», а с обоснованием.
4. Контроль концов. Для каждого граничного значения параметра проверено, включается оно или нет (подстановкой $D = 0$ / $f (M) = 0$ ).
5. Строка «Ответ:». Записан интервал с правильными скобками: квадратная — конец включён, круглая — исключён.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (частичный балл) или обнуляют

Нет проверки границ. Записан интервал без анализа концов — типичная потеря «±» (см. Пример 2: левый конец включается, правый нет).
Забыт вырожденный случай. В задаче с параметром при старшем коэффициенте вида $(a - 1)$ не рассмотрено $a = 1$ — минус балл за полноту.
Мажоранты без проверки совместности. Приравняли части к $A,$ но не проверили, что экстремумы в одной точке (см. Пример 3) — решение неполное или неверное.
Потеряны посторонние/пропущены корни при возведении в квадрат — нет проверки подстановкой.
Нет строки «Ответ:» или нестрогая формулировка («промежуток от … до …» вместо интервала) — незавершённое решение, балл за оформление не ставится.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Не застревай. Шестая задача требует свежей головы. Если ты смотришь на неё 10 минут и не видишь зацепки (нет идей для выделения полных квадратов, график не строится) — переходи к стереометрии (№7) и возвращайся позже.
Пиши частичное решение. Оценивается не только ответ! Если в задаче с параметром ты довёл дело до системы неравенств (выписал условия дискриминанта, вершины, значения в точке), но ошибся в арифметике при их решении — ты получишь баллы за «существенное продвижение» (обычно это половина стоимости задачи).
Проверяй границы. Самая частая причина потери баллов — неправильно поставленные скобки в ответе. При решении строгих неравенств ( $<, >$ ) концы интервалов не включаются, а при проверке касания графиков или $D = 0$ могут появляться изолированные точки. Всегда подставляй граничные значения в исходное уравнение и проверяй руками.
Узнаёшь метод по форме. «Монстр» с радикалами и тригонометрией → мажоранты. Параметр при $x^{2}$ → расположение корней. «Найди все целые/натуральные» → разложение на множители или остатки. «Докажи, что корень один» → монотонность.

Проверь себя0 из 4

1.Оба корня трёхчлена

f (x) = x^{2} + b x + c

строго больше числа

M .

Какая система условий это гарантирует?

2.Корни трёхчлена (

a > 0

) лежат по разные стороны от числа

M .

Какое условие необходимо и достаточно?

3.В методе мажорант получили: левая часть

⩾ A,

правая

⩽ A .

Что обязательно проверить перед записью ответа?

4.Уравнение

(a - 1) x^{2} + 2 x + a = 0

решают через условия для параболы. Что нужно сделать в первую очередь?