Часть 2, задание 1: Вычисления и преобразования — ДВИ

О задании 1: Вычисления и преобразования

Первое задание ДВИ МГУ — это проверка базовой вычислительной культуры. В отличие от ЕГЭ, здесь не бывает задач, которые решаются в одно действие по шаблону. Номер проверяет умение безошибочно применять свойства логарифмов, степеней, корней и тригонометрических функций.

Оценивается не только правильный ответ, но и строгость переходов. Вычислительная ошибка или необоснованное снятие корня (без модуля) моментально снижают балл за задачу до нуля.

Какие темы встречаются

В первом номере банка ДВИ циркулируют четыре основных сюжета (и их комбинации):
1. Иррациональные выражения и степени: выделение полного квадрата под корнём, избавление от иррациональности в знаменателе, сравнение чисел.
2. Логарифмы: свойства логарифмов, формулы перехода к новому основанию, логарифмические тождества.
3. Тригонометрия: вычисление значений выражений, содержащих $arcsin,$ $arccos,$ $arct g,$ а также упрощение комбинаций прямых и обратных тригонометрических функций.
4. Алгебраические дроби и проценты: громоздкие многочлены, которые нужно свернуть по формулам сокращённого умножения, и задачи на доли и проценты.

✎ЗАМЕТКА

Секрет первого номера

Часто в первом задании ответ оказывается «красивым» — целым числом или конечной десятичной дробью, и некрасивый промежуточный результат — повод перепроверить вычисления. Но не возводи это в абсолют: на ДВИ нормальны и иррациональные ответы вида $a + b c$ (например, при сравнении чисел или рационализации). Иррациональный ответ сам по себе не признак ошибки — ориентируйся на корректность переходов, а не на «красоту».

Основные формулы и тождества

Лист со справочными материалами на ДВИ не выдаётся. Всю базу необходимо воспроизводить по памяти. Полный перечень — в справочнике; здесь собрано ядро для задачи 1.

ВАЖНОЕ

Свойства степеней и логарифмов

Для $a > 0,$ $a \neq = 1,$ $b > 0,$ $c > 0 :$

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}, \frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}, (a^{x})^{y} = a^{x y}

lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c, lo g_{a} (\frac{b}{c}) = lo g_{a} b - lo g_{a} c

lo g_{a^{n}} (b^{m}) = \frac{m}{n} lo g_{a} b, a^{l o g_{a} b} = b

ВАЖНОЕ

Переход к новому основанию

Это ключевой инструмент: на ДВИ листа формул нет, а свести разные основания к одному без него невозможно. Для $a, b, c > 0,$ $a \neq = 1,$ $c \neq = 1 :$

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}, lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a} (b \neq = 1) .

Полезное следствие — «цепочка сокращается»:

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c .

В тригонометрических задачах часто требуется выразить косинус двойного угла через тангенс. Это позволяет обходить громоздкие вычисления через синус и косинус.

ВАЖНОЕ

Двойной угол: базовые формы и универсальная подстановка

Базовые формы (нужны, когда известен синус или косинус):

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α, sin 2 α = 2 sin α cos α .

Отсюда формулы понижения степени:

cos^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}, sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2} .

Выражение через тангенс (универсальная подстановка) — удобно, когда дан $t g α :$

cos 2 α = \frac{1 - t g ^{2} α}{1 + t g ^{2} α}, sin 2 α = \frac{2 t g α}{1 + t g ^{2} α} .

Откуда берётся форма через тангенс. Поделим числитель и знаменатель тождества на $cos^{2} α :$

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = \frac{cos ^{2} α - sin ^{2} α}{cos ^{2} α + sin ^{2} α} = \frac{1 - t g ^{2} α}{1 + t g ^{2} α},

здесь использовано $cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ в знаменателе. Аналогично для синуса.

Особый случай. Формула через тангенс работает только там, где $t g α$ определён, то есть $α \neq = \frac{π}{2} + π k .$ Если $cos α = 0,$ то $t g α$ не существует — тогда считай напрямую по базовым формам ( $cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$ и т. д.). На ДВИ неучтённый особый случай — повод снять балл.

Особое внимание удели обратным тригонометрическим функциям. По определению они возвращают не любой угол, а строго из заданного промежутка.

ВАЖНОЕ

Области значений обратных функций

arcsin a \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}], arccos a \in [0; π]

arct g a \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}), arcct g a \in (0; π)

ВАЖНОЕ

Тождества обратных функций

Дополнения до прямого угла (верны при всех допустимых $x$ ):

arcsin x + arccos x = \frac{π}{2} (∣ x ∣ ⩽ 1), arct g x + arcct g x = \frac{π}{2} .

Сумма арктангенсов:

arct g x + arct g y = arct g \frac{x + y}{1 - x y} + π ε,

где поправка $π ε$ нужна, чтобы сумма попала в свой реальный диапазон $(- π; π) :$

ε = 0 при x y < 1; ε = + 1 при x y > 1, x > 0; ε = - 1 при x y > 1, x < 0.

Без поправки формула даёт верный ответ только при $x y < 1 .$

Тригонометрическая окружность для обратных функций

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подходить к упрощению

1. Проанализируй структуру. Не бросайся считать всё подряд. Ищи скрытые формулы сокращённого умножения (квадрат суммы/разности, разность квадратов, сумма/разность кубов).
2. Сверни радикалы. Если под большим корнем стоит выражение вида $A \pm B C,$ попытайся представить его как $(x \pm y)^{2} .$
3. Унифицируй основания. В логарифмических выражениях приведи все логарифмы к одному основанию по формуле перехода $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} .$
4. Следи за знаками. При извлечении корня чётной степени обязательно ставь модуль: $x^{2} = ∣ x ∣ .$ Знак под модулем нужно строго обосновать.
5. Проверь ответ. Оцени результат на здравый смысл (например, логарифм по основанию $2$ от числа, чуть меньшего $3,$ должен быть меньше $2$ ).

Разбор примеров

ПРИМЕР 1

Логарифмы и сложные радикалы

Вычислите значение выражения $lo g_{2} (5 + 26 - 5 - 26) .$

ПРИМЕР 2

Тригонометрия и обратные функции

Вычислите значение выражения $10 sin (\frac{π}{2} + 2 arct g \frac{1}{3}) .$

ПРИМЕР 3

Логарифмы со сменой основания

Вычислите значение выражения $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 8 .$

ПРИМЕР 4

Свёртка громоздкого многочлена по ФСУ

Вычислите значение выражения $\frac{7 , 5 ^{3} + 2 , 5 ^{3}}{7 , 5 ^{2} - 7 , 5 \cdot 2 , 5 + 2 , 5 ^{2}}$ без калькулятора.

ПРИМЕР 5

Сумма обратных тригонометрических функций

Вычислите значение выражения $arcsin \frac{5}{13} + arcsin \frac{12}{13} .$

ПРИМЕР 6

Сумма арктангенсов с поправкой

Вычислите значение выражения $arct g 2 + arct g 3 .$

ПРИМЕР 7

Проценты: последовательные изменения

Цену товара сначала повысили на $10%,$ затем новую цену повысили ещё на $20% .$ На сколько процентов итоговая цена больше первоначальной?

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не складывай проценты напрямую

Соблазнительно сказать « $10% + 20% = 30%$ » — это ошибка. Второе повышение берётся уже от увеличенной цены, поэтому правильный ответ $32%,$ а не $30% .$ Лишние $2%$ — это «процент с процента» ( $0, 1 \cdot 0, 2 = 0, 02$ ).

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря модуля при корне

Ошибка: Упрощать $(1 - 2)^{2} = 1 - 2 .$
Правильно: $(1 - 2)^{2} = ∣1 - 2 ∣ = 2 - 1,$ так как $2 > 1,$ и выражение $1 - 2$ отрицательно. На экзамене за потерю модуля в такой ситуации снимают все баллы за задачу.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

ОДЗ при разбиении логарифма произведения

Ошибка: Бездумно писать $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c,$ когда $b$ и $c$ могут быть отрицательными.
Правильно: Тождество $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$ верно только при $b > 0$ и $c > 0 .$ Если известно лишь, что произведение $b c > 0$ (а сами $b, c$ могут быть оба отрицательны), правильная форма — с модулями: $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} ∣ b ∣ + lo g_{a} ∣ c ∣ .$ Аналогично $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ (с модулем!), потому что $x$ может быть отрицательным. На ДВИ за расширение или сужение ОДЗ при таком переходе режут баллы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ловушки аркфункций от тригонометрических

Ошибка: Писать $arcsin (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} .$
Правильно: По определению значение арксинуса должно лежать в отрезке $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$ Вычисли сначала синус: $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2} .$ Затем найди арксинус: $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6} .$

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ проверяет не ответ, а обоснованное решение: работу оценивают по рубрике «±», и каждый недосказанный шаг может стоить понижения. Ниже — эталон записи задачи 1 и список того, за что снимают балл.

✓СОВЕТ

Эталон полного решения (задача 1)

Условие. Вычислите $lo g_{3} (7 + 43 - 3) .$

Решение (как писать на чистовике):

1. Выделяю полный квадрат под корнем: $7 + 43 = 4 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3 = (2 + 3)^{2} .$
2. Снимаю корень через модуль (обязательный шаг): $(2 + 3)^{2} = ∣2 + 3 ∣ .$
3. Раскрываю модуль с обоснованием знака: так как $2 > 0$ и $3 > 0,$ то $2 + 3 > 0,$ поэтому $∣2 + 3 ∣ = 2 + 3 .$
4. Подставляю в исходное выражение: $7 + 43 - 3 = (2 + 3) - 3 = 2 .$
5. Вычисляю логарифм: $lo g_{3} 2$ — это и есть ответ (иррациональное число — нормально).

Ответ: $lo g_{3} 2 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» в задаче 1

Корень снят без модуля. $x^{2} = x$ вместо $x^{2} = ∣ x ∣$ — почти всегда обнуление, даже если численно «совпало».
Модуль раскрыт без обоснования знака. Нужно явно выписать неравенство («так как $3 > 2,$ то $3 - 2 > 0$ »), а не «очевидно».
Применено тождество без проверки ОДЗ. $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} x$ вместо $2 lo g_{a} ∣ x ∣;$ $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$ при возможно отрицательных $b, c .$
Аркфункция вычислена вне своего диапазона. $arcsin (sin t) = t$ без проверки, что $t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$
Использована «нестандартная» формула без вывода. Универсальная подстановка, сумма арктангенсов с поправкой $\pm π$ — выпиши формулу отдельно и (по возможности) обоснуй применимость; не учтён особый случай $t g α$ не определён.
Потерян особый случай / деление на ноль. Сокращение на множитель, который может обращаться в ноль, без оговорки.
«Скачок» в вычислениях. Пропущенные промежуточные равенства — проверяющий не обязан додумывать; пиши цепочку переходов полностью.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия решения задачи 1

Время: Выдели на первую задачу не более 15-20 минут. Это «разгонная» задача.
Оформление: Записывай все шаги последовательно. Если применяешь нестандартное тождество (универсальная подстановка, сумма арктангенсов) — выпиши его отдельно и оговори применимость. Если раскрываешь модуль — явно напиши неравенство (например, «так как $3 > 8,$ то $3 - 8 > 0$ »).
Сброс напряжения: Первую задачу полезно перепроверить в конце экзамена свежим взглядом, чтобы исключить глупые арифметические ошибки $2 + 2 = 5 .$ Обидно терять баллы на арифметике, решив сложную идейную часть.
Ограничения: В логарифмических преобразованиях всегда помни про ОДЗ. Если ты применяешь формулу $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} x,$ убедись, что $x > 0 .$ Если знак $x$ неизвестен, правильно писать $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣ .$

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

(1 - 2)^{2} ?

2.В каком промежутке лежат значения

arct g x ?

3.Чему равно произведение

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8 ?

4.Цену повысили на

10%,

затем ещё на

20% .

На сколько процентов выросла цена?