Задачи с параметрами — ДВИ

Как устроены задачи с параметром на ДВИ

Задачи с параметрами (обычно это номера 6 или 7) — один из главных фильтров на ДВИ МГУ. В отличие от ЕГЭ, где часто достаточно алгоритмического графического решения, на мехмате и ВМК ценятся строгие логические переходы, теоремы о расположении корней и анализ инвариантности.

Здесь недостаточно написать ответ — каждое значение параметра должно быть обосновано, а все побочные случаи (например, обнуление старшего коэффициента) строго проверены.

Лист формул на ДВИ не выдают: всё, что используешь (расстояние от точки до прямой, условия расположения корней, ограниченность синуса), нужно либо помнить, либо уметь восстановить за пару строк. Поэтому ниже формулы расположения корней даются не как «магические рецепты», а связаны с поведением параболы — так их можно вывести заново прямо на экзамене.

1. Расположение корней квадратного трёхчлена

Самый частый алгебраический сюжет: дано уравнение, сводящееся к квадратному $f (x) = a x^{2} + b x + c = 0,$ и требуется, чтобы его корни удовлетворяли определённым условиям (были больше числа $M,$ лежали на отрезке и т.д.).

Решать такие задачи через формулы корней с радикалами — самоубийство (получишь сложные иррациональные неравенства). Используй свойства параболы: знак старшего коэффициента $a,$ дискриминант $D,$ координату вершины $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ и знак значения функции в точке $f (M) .$

✓СОВЕТ

Откуда берутся все условия (чтобы не зубрить)

Любое условие расположения корней собирается из трёх «кирпичиков», и каждый легко восстановить, нарисовав параболу:

1. Знак $a \cdot f (M) .$ Если $a \cdot f (M) > 0,$ то точка $M$ лежит вне отрезка между корнями (парабола в точке $M$ «по ту же сторону», что и её ветви). Если $a \cdot f (M) < 0$ — точка $M$ между корнями.
2. Положение вершины $x_{0}$ относительно $M$ говорит, с какой стороны от $M$ находятся корни (оба правее $M$ $\Rightarrow$ $x_{0} > M$ ).
3. Дискриминант $D$ отвечает за само существование (и различность) корней.

Запомнив эту тройку, ты соберёшь условие для любой конфигурации, даже если забыл готовую формулу.

ВАЖНОЕ

Оба корня лежат строго больше заданного числа M

Для $a > 0 :$ $⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 x_{0} > M f (M) > 0$
Для $a < 0 :$ $⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 x_{0} > M f (M) < 0$

Объединённое условие: $⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 x_{0} > M a \cdot f (M) > 0$

ВАЖНОЕ

Оба корня лежат строго меньше заданного числа M

Зеркально предыдущему — меняется только положение вершины:

⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 x_{0} < M a \cdot f (M) > 0

Условие $a \cdot f (M) > 0$ снова говорит, что $M$ вне отрезка между корнями, а $x_{0} < M$ — что корни левее $M .$

ВАЖНОЕ

Оба корня лежат на отрезке (M, N)

Чтобы оба корня попали между $M$ и $N$ (то есть $M < x_{1} ⩽ x_{2} < N$ ):

⎩ ⎨ ⎧ D ⩾ 0 M < x_{0} < N a \cdot f (M) > 0 a \cdot f (N) > 0

Здесь $a \cdot f (M) > 0$ и $a \cdot f (N) > 0$ гарантируют, что обе границы вне отрезка между корнями, а $M < x_{0} < N$ «зажимает» вершину (а значит, и оба корня) внутрь. Для нестрогого «на отрезке $[M; N]$ » неравенства с $f (M), f (N)$ и вершиной берут нестрогими.

ВАЖНОЕ

Ровно один корень на интервале (M, N)

Если корни лежат по разные стороны от пары границ так, что внутрь $(M; N)$ попадает ровно один:

f (M) \cdot f (N) < 0

Знак $a$ здесь не нужен: если значения функции на концах разного знака, парабола пересекает ось между $M$ и $N$ нечётное (а значит, ровно одно) число раз.

Осторожно: условие $f (M) f (N) < 0$ ловит «ровно один корень строго внутри», но не покрывает ситуацию, когда второй корень тоже мог бы случайно попасть внутрь при $f (M) f (N) > 0 .$ Если по смыслу задачи «ровно один» нужно проверить и краевые равенства $f (M) = 0$ или $f (N) = 0$ отдельно (см. ниже).

ВАЖНОЕ

Корень совпал с границей: f(M) = 0

Если требуется, чтобы число $M$ само было корнем, подставляем $x = M :$

f (M) = 0 \Rightarrow находим кандидаты на a .

Обязательно после этого находим второй корень (по теореме Виета $x_{2} = \frac{c}{a \cdot M}$ или делением трёхчлена на $(x - M)$ ) и проверяем, удовлетворяет ли он условию задачи. Подстановка $f (M) = 0$ даёт лишь кандидатов — как и в задачах на единственность.

ВАЖНОЕ

Корни лежат по разные стороны от числа M

Один корень строго меньше $M,$ другой строго больше $M :$

a \cdot f (M) < 0

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

D ≥ 0 или D > 0?

В формулах выше стоит $D ⩾ 0$ — это допускает двойной корень (кратности 2). Если в условии сказано «два различных корня», бери $D > 0;$ если «не менее одного» или «корни» без уточнения кратности — оставляй $D ⩾ 0 .$ Эта тонкость стоит баллов: см. пример 1 (там требуется именно «два различных», и переход к строгому неравенству был бы обязателен, если бы $a \cdot f (M) < 0$ его уже не гарантировало).

Двигайте a, b, c и наблюдайте положение вершины x₀, дискриминант и действительные корни

2. Логические задачи: инвариантность и единственность

Если в задаче требуется найти значения параметра, при которых система или уравнение имеет единственное решение (или нечётное число решений), всегда ищи симметрию.

Метод называется «Необходимость и достаточность».
1. Необходимость: Заметь, что если пара $(x; y)$ является решением, то из-за симметрии уравнения (например, присутствуют только $x^{2}$ или $∣ x ∣$ ), пара $(- x; y)$ тоже является решением. Чтобы решение было единственным, эти пары обязаны совпадать: $x = - x ⟹ x = 0 .$ Подставь $x = 0$ и найди кандидатов на параметр $a .$
2. Достаточность: Обязательно подставь найденные $a$ в исходную систему и строго докажи, что при этих $a$ других решений действительно нет.

ВАЖНОЕ

Поиск инвариантности

Замена $x \to - x$ (симметрия относительно оси $O y$ ).
Замена $y \to - y$ (симметрия относительно оси $O x$ ).
Замена $x \leftrightarrow y$ (симметрия относительно прямой $y = x$ ).

✓СОВЕТ

Одна схема — разные симметрии

Замена бывает разной ( $x \to - x,$ $y \to - y$ или $x \leftrightarrow y$ ), но схема одна: находим, при какой симметрии решение обязано перейти само в себя, приравниваем образ к прообразу (получаем уравнение на координаты решения-кандидата), подставляем — находим кандидатов на $a,$ затем доказываем достаточность. В §2 шаблон показан на $x \to - x$ (тогда кандидат $x = 0$ ); в примере 2 используется $x \leftrightarrow y$ (тогда кандидат $x = y$ ). Не пугайся смены конкретной замены — действия те же.

3. Метод оценок (мажоранта — миноранта)

Очень мощный приём именно для ДВИ: если удаётся доказать, что левая часть уравнения не больше некоторого числа $A,$ а правая — не меньше того же $A,$ то равенство возможно лишь когда обе части равны $A$ одновременно.

ВАЖНОЕ

Метод мажорант

Если на всей области определения $f (x) ⩽ A$ и $g (x) ⩾ A,$ то

f (x) = g (x) ⟺ {f (x) = A g (x) = A

Частный (и самый ходовой) случай — сумма неотрицательных равна нулю:

u^{2} + v^{2} + \dots = 0 ⟺ u = 0, v = 0, \dots

Каждое слагаемое-квадрат (или модуль) обязано обнулиться.

Где брать оценки без листа формул (см. справочник, раздел «Классические оценки»):

$sin t, cos t \in [- 1; 1],$ а значит $a sin t + b cos t \in [- a^{2} + b^{2}; a^{2} + b^{2}];$
полный квадрат $⩾ 0,$ модуль $⩾ 0;$
$t + \frac{1}{t} ⩾ 2$ при $t > 0$ (и $⩽ - 2$ при $t < 0$ );
AM–GM: среднее арифметическое $⩾$ среднего геометрического.

4. Графический метод

Если в уравнении есть модули, суммы квадратов, уравнения окружностей или ломаных линий — строй графики в координатах $(x; y)$ или $(x; a) .$

На ДВИ графический метод должен быть строго обоснован аналитически. Если ты видишь по графику, что прямая касается окружности, ты должен доказать это (например, приравнять уравнения и показать, что дискриминант равен нулю, или использовать формулу расстояния от точки до прямой).

ВАЖНОЕ

Расстояние от точки до прямой (нужно помнить — листа формул нет)

Прямая $ℓ : A x + B y + C = 0,$ точка $M (x_{0}; y_{0}) :$

d (M, ℓ) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}} .

Окружность $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ касается прямой $ℓ$ $⟺$ расстояние от центра до прямой равно радиусу: $d = R .$ Это и есть строгое (а не «на глаз») условие касания.

АЛГОРИТМ

Алгоритм графического решения

1. Перенеси параметры в одну сторону, переменные — в другую (если возможно).
2. Нарисуй неподвижную фигуру (не зависящую от параметра).
3. Нарисуй семейство фигур, зависящих от параметра (движущиеся прямые, расширяющиеся окружности, сдвигающиеся уголки).
4. Найди граничные положения (касания, прохождения через узловые точки).
5. Аналитически вычисли значения параметра для этих пограничных положений.

Прямая y=c и окружность — двигайте c и найдите граничные (касательные) положения

5. Уравнения с параметром в новых классах

Расположение корней и графика покрывают планиметрический и алгебраический сюжеты. Но на ДВИ параметр сплошь и рядом «зашит» в показательную, логарифмическую или тригонометрическую функцию, и тогда ключом становится ОДЗ или ограниченность функции.

✓СОВЕТ

Две рабочие идеи для нестандартных классов

ОДЗ как фильтр параметра. В логарифмах/корнях формально найденный корень может выпадать из области определения при некоторых $a .$ Сначала выписывай ОДЗ, в конце — пересекай с ним найденные корни.
Ограниченность как источник условий. Поскольку $sin, cos \in [- 1; 1],$ уравнение вида $sin x = (выражение от a)$ имеет решение лишь когда правая часть попадает в $[- 1; 1]$ — это сразу даёт неравенство на $a .$ Так же работает замена $t = cos x$ или $t = a^{x} > 0$ с ограничением области для $t .$

Разобранные примеры этих классов — ниже (примеры 4, 5, 6).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Расположение корней квадратного трёхчлена

Условие. Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

(a - 1) x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0

имеет ровно два различных корня, один из которых строго больше $2,$ а другой строго меньше $2 .$

ПРИМЕР 2

Симметрия и единственность

Условие. При каких значениях параметра $a$ система неравенств

{y ⩾ x^{2} + a x ⩾ y^{2} + a

имеет ровно одно решение?

ПРИМЕР 3

Графический метод с модулем

Условие. Найдите все $a,$ при которых система

{x^{2} + y^{2} = a^{2} y = ∣ x ∣ - 2

имеет ровно два различных решения.

ПРИМЕР 4

Оба корня на отрезке

Условие. Найдите все значения параметра $a,$ при которых оба корня уравнения

x^{2} - 2 (a - 1) x + a^{2} - 2 a = 0

принадлежат отрезку $[0; 4] .$

ПРИМЕР 5

Логарифмическое уравнение с параметром: ОДЗ отсекает корень

Условие. При каких значениях параметра $a$ уравнение

l g x + l g (x - 3) = l g a

имеет решение? Найдите это решение.

ПРИМЕР 6

Тригонометрическое уравнение с параметром: число решений через ограниченность

Условие. При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 cos^{2} x - (2 a + 1) cos x + a = 0

имеет хотя бы одно решение? Сколько серий решений оно даёт в зависимости от $a ?$

ПРИМЕР 7

Метод оценок: при каких a уравнение имеет решение

Условие. Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

x^{2} + 2 a x + 2 a^{2} - 2 a + 1 = 0

имеет решение, и найдите это решение.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике с частичными баллами («±»): за полностью обоснованное решение — полный балл, за решение с верной идеей, но пропущенным разбором случая — «±» (половина), за «ответ угадан / показано на глаз» — мало или ноль. Лист формул не выдают, поэтому каждый нетривиальный шаг должен быть либо обоснован, либо опираться на известную формулу с её упоминанием.

✓СОВЕТ

Эталон полного решения (что обязательно должно быть на бумаге)

1. Разбор вырожденных случаев в начале. Если параметр стоит при старшей степени — отдельно «Случай $a = 0$ » (или $a - 1 = 0$ и т. п.). Без этого — потеря балла, даже если основной случай решён идеально.
2. Выписанное ОДЗ для логарифмов/корней/дробей — до начала преобразований.
3. Обоснование каждого перехода. Не «очевидно касается», а «расстояние от центра до прямой $= R,$ значит касание». Не «корень один», а доказанная единственность.
4. Для задач на единственность — обе части: необходимость (нашли кандидатов на $a$ ) и достаточность (подставили $a,$ доказали, что других решений нет).
5. Финальное пересечение/объединение всех условий и проверка хотя бы одного значения подстановкой.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают баллы (ставят «±» или меньше)

Пропуск	Чего стоит
Не рассмотрен случай $a = 0$ (или обнуления старшего коэффициента)	теряется балл / «±», даже при верном основном ответе
Найдены кандидаты из необходимости, но не доказана достаточность	«±» — половина задачи
Вывод «касается / пересекает» сделан «на глаз», без аналитики	снимают за необоснованность
Потеряно ОДЗ: формальный корень не проверен на допустимость	неверный/неполный ответ
$D ⩾ 0$ вместо $D > 0$ при требовании «два различных корня»	лишние/недостающие значения $a$ в ответе
Нет финальной проверки / пересечения условий	риск арифметической ошибки без страховки

ПРИМЕР

Сравнение: полное решение vs «на ±»

Задача. Найдите все $a,$ при которых уравнение $a x^{2} + 4 x + a = 0$ имеет ровно один корень.

Решение «на ±» (теряет балл). « $D = 16 - 4 a^{2} = 0 \Rightarrow a = \pm 2 .$ » — Ответ $a = \pm 2 .$
Здесь упущен случай $a = 0$ (уравнение становится линейным $4 x = 0,$ $x = 0$ — тоже ровно один корень!). Старший коэффициент при $x^{2}$ — это $a,$ и его обнуление обязательно разобрать.

Полное решение (полный балл).
Случай 1: $a = 0 .$ Уравнение $4 x = 0 \Rightarrow x = 0$ — ровно один корень. Значит $a = 0$ подходит.
Случай 2: $a \neq = 0 .$ Уравнение квадратное; ровно один (двойной) корень $⟺ D = 0 :$

D = 16 - 4 a^{2} = 0 ⟺ a^{2} = 4 ⟺ a = \pm 2.

Ответ: $a \in {- 2; 0; 2} .$

Разница между «±» и полным баллом — одна строчка про $a = 0 .$ Именно такие строчки и проверяют на ДВИ.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря проверки старшего коэффициента

Ошибка: Решать уравнение $a x^{2} + 4 x + a = 0$ через дискриминант $D = 16 - 4 a^{2}$ и забыть рассмотреть случай $a = 0 .$
Правильно: Если параметр стоит перед $x^{2},$ алгоритм всегда начинается со слов: «Случай 1. $a = 0$ ». При $a = 0$ уравнение становится линейным $4 x = 0$ и имеет один корень. И только «Случай 2. $a \neq = 0$ » позволяет использовать дискриминант и формулы параболы. То же касается условий расположения корней: формулы из раздела 1 применимы, только убедившись, что уравнение действительно квадратное ( $a_{старший} \neq = 0$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Недоказанная достаточность

Ошибка: В задаче на единственность найти $a$ из условия симметрии (например, подставив $x = 0$ ) и сразу записать его в ответ.
Правильно: Подстановка $x = 0$ даёт только кандидатов. Бывает, что при найденном $a$ система имеет бесконечно много решений или не имеет их вовсе. Найденное $a$ обязательно нужно подставить в исходную систему и решить её.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

D ≥ 0 против D > 0

Ошибка: Использовать $D ⩾ 0,$ когда в условии сказано «два различных корня» (или, наоборот, $D > 0,$ когда двойной корень допустим).
Правильно: «Два различных корня» $\Rightarrow D > 0;$ «корни» / «не менее одного корня» / «оба корня» без указания различности $\Rightarrow D ⩾ 0$ (двойной корень считается за два совпавших). В примере 1 требование «два различных» удовлетворяется автоматически, потому что $a \cdot f (M) < 0$ уже влечёт $D > 0,$ — но если бы такого условия не было, переход к строгому $D > 0$ был бы обязателен.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Возведение в квадрат и домножение на выражение с параметром

Ошибка: Возвести обе части иррационального уравнения/неравенства в квадрат или домножить неравенство на выражение, содержащее параметр, не следя за знаком.
Правильно: (1) Возведение в квадрат может добавить посторонние корни — обязательна проверка знака правой части ( $f = g ⟺ f = g^{2}, g ⩾ 0$ ) и подстановка в исходное. (2) При домножении неравенства на множитель с параметром помни: если множитель отрицателен (например, при $a < 0$ ), знак неравенства меняется. Если знак множителя зависит от $a$ — разбивай на случаи $a > 0,$ $a = 0,$ $a < 0 .$

Что запомнить

Графики: Окружность $x^{2} + y^{2} = R^{2},$ уголок $y = ∣ x ∣,$ ромб $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a .$
Корни: Формулы расположения корней квадратного трёхчлена избавляют от необходимости решать иррациональные неравенства. Полный набор условий собирается из трёх кирпичиков: знак $a \cdot f (M),$ положение вершины $x_{0},$ дискриминант $D .$
Симметрия: Необходимость (находим $a$ ) $⟹$ Достаточность (проверяем $a$ ).
Оценки: «сумма неотрицательных $= 0$ » $⟺$ каждое слагаемое нуль; ограниченность $sin, cos$ и полного квадрата — источник условий на $a .$
Новые классы: в логарифмах/корнях ОДЗ может отсекать формальный корень; в тригонометрии замена $t = cos x$ обязана учитывать $t \in [- 1; 1] .$

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Стратегия экзамена

Время: Задачи с параметром — одни из самых «дорогих» на экзамене. Выделяй на них 30-40 минут. Если застрял на алгебраических преобразованиях — попробуй нарисовать графики.
ОДЗ: В параметрах с логарифмами или корнями ОДЗ часто играет ключевую роль. Корень может быть найден по формуле, но отсекаться ОДЗ при определённых $a$ (см. пример 5). Всегда выписывай область определения в начале.
Обоснование графиков: Нарисовать картинку мало. Если ты утверждаешь, что прямая касается фигуры, найди точку касания через равенство производных или равенство дискриминанта нулю (либо через формулу расстояния от точки до прямой). Проверяющие ДВИ снимают баллы за выводы, сделанные «на глаз».
Под рубрику: разбери вырожденные случаи, докажи достаточность, в конце пересеки все условия и подставь хотя бы одно значение — это и отличает полный балл от «±».

Проверь себя0 из 4

1.Оба корня уравнения

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq = 0

) лежат по разные стороны от числа

M

тогда и только тогда, когда:

2.Система симметрична относительно замены

x \leftrightarrow y

и имеет единственное решение

(x_{0}; y_{0}) .

Что обязательно верно?

3.Уравнение

a x^{2} + 4 x + a = 0

имеет ровно один корень. Каков полный ответ?

(x + a)^{2} + (a - 1)^{2} = 0 .

При каких

a

есть решение?