Суть темы

На ДВИ по математике часто встречаются задачи, которые невозможно решить стандартными алгебраическими преобразованиями. Если в одном уравнении смешаны многочлены, тригонометрия, логарифмы и корни — это маркер того, что задача решается через оценки (метод мажорант) или использование свойств функций (монотонность, ограниченность).

Также в первой задаче варианта ДВИ регулярно требуется вычислить или сравнить громоздкие иррациональные и логарифмические выражения без калькулятора. Здесь проверяется умение аккуратно возводить в квадрат, выделять полные квадраты и оценивать числа соседними целыми.

Основные формулы и оценки

Для успешного применения метода мажорант нужно знать экстремальные значения и границы стандартных функций.

Ограниченность базовых функций

∣ sin x ∣ ⩽ 1, ∣ cos x ∣ ⩽ 1

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}

a^{x} > 0 (при a > 0), x ⩾ 0, ∣ x ∣ ⩾ 0

Особое место занимают неравенства, связывающие средние величины. На ДВИ их можно применять без доказательства.

Неравенство Коши (о средних)

Для любых неотрицательных чисел $a ⩾ 0$ и $b ⩾ 0$ выполняется:

\frac{a + b}{2} ⩾ ab

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b .$

Метод мажорант

Если дано уравнение $f (x) = g (x),$ и при этом на всей области допустимых значений (ОДЗ) функция $f (x)$ ограничена сверху числом $M$ ( $f (x) ⩽ M$ ), а функция $g (x)$ ограничена снизу тем же числом $M$ ( $g (x) ⩾ M$ ), то равенство возможно только в случае, когда обе функции одновременно равны $M .$

Алгоритм метода мажорант

1. Найди ОДЗ уравнения или неравенства.
2. Оцени левую часть (например, выдели полный квадрат или примени ограниченность тригонометрической функции). Пусть получено $f (x) ⩽ M .$
3. Оцени правую часть. Убедись, что выполняется встречная оценка $g (x) ⩾ M .$
4. Перейди к системе уравнений, которая равносильна исходному:

{f (x) = M, g (x) = M .

5. Реши более простое уравнение системы и подставь его корни во второе уравнение для проверки.

Использование монотонности

Если в уравнении $f (x) = c$ функция $f (x)$ строго возрастает (или строго убывает) на своей области определения, то она принимает значение $c$ не более одного раза. Корень в таких задачах можно просто угадать, а затем сослаться на монотонность как на доказательство его единственности.

Аналогично, если $f (x)$ строго возрастает, а $g (x)$ строго убывает, то уравнение $f (x) = g (x)$ имеет не более одного корня.

Примеры решений

Пример 1. Оценка иррационально-логарифмического выражения

Найди наибольшее целое число, не превосходящее $A = lo g_{2} (17 + 122) .$

Показать решение

Заметим, что под логарифмом находится полный квадрат. Подберем коэффициенты:

17 + 122 = 9 + 122 + 8 = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 22 + (22)^{2} = (3 + 22)^{2} .

Тогда исходное число преобразуется:

A = lo g_{2} ((3 + 22)^{2}) = 2 lo g_{2} (3 + 22) .

Оценим значение выражения $3 + 22 .$ Поскольку $22 = 8,$ а $2, 8^{2} = 7, 84$ и $2, 9^{2} = 8, 41,$ имеем $2, 8 < 22 < 2, 9 .$ Следовательно, $5, 8 < 3 + 22 < 5, 9 .$

Число $3 + 22$ находится между $4$ и $8,$ поэтому $lo g_{2} (3 + 22)$ находится между $2$ и $3 .$ Значит, $A = 2 \cdot (2 \dots 3)$ лежит в диапазоне от $4$ до $6 .$ Нужно выяснить точнее: превосходит ли логарифм значение $2, 5 .$

Сравним $lo g_{2} (3 + 22)$ и $\frac{5}{2} :$

lo g_{2} (3 + 22) \lor \frac{5}{2} ⟺ 3 + 22 \lor 2^{5/2} ⟺ 3 + 22 \lor 42 .

Вычтем $22$ из обеих частей:

3 \lor 22 .

Возведем в квадрат положительные числа: $9 > 8 .$ Знак « $>$ » сохраняется по цепочке вверх. Значит, $lo g_{2} (3 + 22) > 2, 5,$ откуда $A > 5 .$

Осталось проверить, меньше ли $A$ шести. Сравним исходное число с $6 :$

A < 6 ⟺ lo g_{2} (17 + 122) < 6 ⟺ 17 + 122 < 64 ⟺ 122 < 47.

Возведем в квадрат: $(122)^{2} = 288,$ а $4 7^{2} = 2209 .$ Неравенство $288 < 2209$ верно. Значит, $A < 6 .$

Число $A$ строго больше $5$ и строго меньше $6 .$ Наибольшее целое число, не превосходящее $A,$ равно $5 .$

Ответ: $5 .$

Пример 2. Метод мажорант с тригонометрией

Реши уравнение $lo g_{2} (x^{2} - 4 x + 6) = 1 - sin (\frac{π x}{2}) .$

Показать решение

Оценим левую часть уравнения. Выделим полный квадрат в аргументе логарифма:

x^{2} - 4 x + 6 = (x - 2)^{2} + 2.

Так как $(x - 2)^{2} ⩾ 0$ при любых $x,$ то $(x - 2)^{2} + 2 ⩾ 2 .$
Функция $y = lo g_{2} t$ монотонно возрастает, поэтому:

lo g_{2} (x^{2} - 4 x + 6) ⩾ lo g_{2} 2 = 1.

Левая часть всегда больше или равна $1 .$

Оценим правую часть. Модуль синуса всегда неотрицателен: $sin (\frac{π x}{2}) ⩾ 0 .$ Умножим на $- 1$ и прибавим $1 :$

1 - sin (\frac{π x}{2}) ⩽ 1.

Правая часть всегда меньше или равна $1 .$

Равенство $f (x) = g (x)$ возможно лишь в случае, когда обе части равны $1 .$ Получаем систему:

{lo g_{2} (x^{2} - 4 x + 6) = 1, 1 - sin (\frac{π x}{2}) = 1.

Из первого уравнения:

x^{2} - 4 x + 6 = 2 ⟺ x^{2} - 4 x + 4 = 0 ⟺ (x - 2)^{2} = 0 ⟹ x = 2.

Проверим найденный корень во втором уравнении:

1 - sin (\frac{2 π}{2}) = 1 - ∣ sin π ∣ = 1 - 0 = 1.

Уравнение обращается в верное равенство. Корень подтвержден.

Ответ: $x = 2 .$

Пример 3. Оценка через неравенство Коши

Реши систему уравнений:

{t g^{2} x + ct g^{2} x = 2 cos y, x + y = \frac{π}{4} .

Показать решение

ОДЗ системы: $sin x \neq = 0$ и $cos x \neq = 0,$ то есть $x \neq = \frac{π n}{2}, n \in Z .$

Рассмотрим первое уравнение. Так как $t g^{2} x > 0$ и $ct g^{2} x > 0$ на ОДЗ, а также $t g^{2} x \cdot ct g^{2} x = 1,$ можно применить неравенство о сумме взаимно обратных положительных чисел:

t g^{2} x + ct g^{2} x = t g^{2} x + \frac{1}{t g ^{2} x} ⩾ 2.

Левая часть первого уравнения не меньше $2 .$

Правая часть ограничена сверху значением косинуса:

2 cos y ⩽ 2.

Следовательно, первое уравнение равносильно системе:

{t g^{2} x + ct g^{2} x = 2, 2 cos y = 2. ⟺ {t g^{2} x = 1, cos y = 1.

Из уравнения $cos y = 1$ находим $y = 2 π k, k \in Z .$
Подставим во второе уравнение исходной системы $x + y = \frac{π}{4} :$

x + 2 π k = \frac{π}{4} ⟹ x = \frac{π}{4} - 2 π k .

Проверим, удовлетворяет ли найденный $x$ уравнению $t g^{2} x = 1 :$

t g^{2} (\frac{π}{4} - 2 π k) = t g^{2} (\frac{π}{4}) = 1^{2} = 1.

Условие выполняется. Найденный $x$ также входит в ОДЗ.

Ответ: $(\frac{π}{4} - 2 π k; 2 π k), k \in Z .$

Частые ошибки

Возведение неравенства в квадрат вслепую

Ошибка: при сравнении чисел переходить от $A > B$ к $A^{2} > B^{2},$ не убедившись в положительности $A$ и $B .$ Например, из $- 2 > - 5$ не следует $(- 2)^{2} > (- 5)^{2} .$
Правильно: перед возведением обеих частей в квадрат обязательно зафиксируй (или докажи), что обе части неравенства строго неотрицательны. Если части имеют разные знаки, квадрат не нужен — положительное число всегда больше отрицательного.

Применение неравенства Коши к отрицательным числа

Ошибка: написать $x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} ⩾ 4$ и сделать вывод о минимуме функции, забыв, что исходная переменная могла стоять без квадрата, например $x + \frac{1}{x} ⩾ 2$ при $x < 0 .$
Правильно: неравенство $\frac{a + b}{2} ⩾ ab$ работает только для $a ⩾ 0$ и $b ⩾ 0 .$ Если переменные могут быть отрицательными, рассматривать случаи нужно отдельно.

Что запомнить

Выделение полного квадрата — универсальный способ оценки многочлена второй степени.
Выражения вида $A + \frac{1}{A}$ кричат о применении оценки $⩾ 2$ (или $⩽ - 2$ ).
При сравнении чисел с радикалами часто помогает умножение на сопряженное выражение или последовательное возведение в квадрат с уединением оставшегося корня.
Если в уравнении есть и многочлен, и тригонометрия — не пытайся выразить $x .$ Сразу ищи границы левой и правой частей.

Стратегия на ДВИ

Оформление оценок и проверок

Любая оценка вроде $lo g_{2} (5, 8) \in (2; 3)$ должна быть обоснована неравенствами. Пиши проверяемые цепочки: $4 < 5, 8 < 8 ⟹ lo g_{2} 4 < lo g_{2} 5, 8 < lo g_{2} 8 .$ За «очевидно, что логарифм больше двух» снимут баллы за необоснованный переход.
Если метод мажорант дал единственный возможный корень $x = x_{0},$ его подстановка в обе части уравнения строго обязательна. Написанная система $f (x) = M$ и $g (x) = M$ — это только необходимые условия. Корень должен удовлетворять им одновременно.
Для задач №1 (вычисления) старайся не работать с десятичными приближениями корней ( $2 \approx 1, 41$ ). Эксперты ДВИ требуют строгих алгебраических сравнений (через возведение в квадрат и разности), а не инженерных прикидок. Приближения используй только на черновике для понимания, в какую сторону доказывать неравенство.