Разобрался в теме? Закрепи на задачах
Задачи по каждой теме с ИИ-проверкой и конспекты по всем разделам ЕГЭ. Бесплатно, 20 проверок в неделю.
На ДВИ по математике часто встречаются задачи, которые невозможно решить стандартными алгебраическими преобразованиями. Если в одном уравнении смешаны многочлены, тригонометрия, логарифмы и корни — это маркер того, что задача решается через оценки (метод мажорант) или использование свойств функций (монотонность, ограниченность).
Также в первой задаче варианта ДВИ регулярно требуется вычислить или сравнить громоздкие иррациональные и логарифмические выражения без калькулятора. Здесь проверяется умение аккуратно возводить в квадрат, выделять полные квадраты, домножать на сопряжённое и оценивать числа соседними целыми. Отдельный жанр — доказательство неравенств («докажите, что …»), где главный инструмент тоже оценки.
Для успешного применения метода мажорант нужно знать экстремальные значения и границы стандартных функций.
Особое место занимают неравенства, связывающие средние величины. На ДВИ их можно применять без доказательства, но полезно помнить и короткий вывод — листа формул на экзамене не дают, а эксперт вправе потребовать обоснование.
Для любых неотрицательных чисел a⩾0 и b⩾0 выполняется:
2a+b⩾abРавенство достигается тогда и только тогда, когда a=b.
Для любых неотрицательных a1,a2,…,an⩾0 среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:
na1+a2+⋯+an⩾na1a2⋯an,равенство⟺a1=a2=⋯=an.Самые ходовые на ДВИ частные случаи (см. также справочник, разд. 4 «Классические оценки»):
a+b+c⩾33abc(a,b,c⩾0),a+a1⩾2(a>0).Если на экзамене нужно сослаться на неравенство, но хочется подстраховаться выводом:
Одна строка такого вывода превращает «по неравенству Коши» в полностью обоснованный переход.
Если дано уравнение f(x)=g(x), и при этом на всей области допустимых значений (ОДЗ) функция f(x) ограничена сверху числом M (f(x)⩽M), а функция g(x) ограничена снизу тем же числом M (g(x)⩾M), то равенство возможно только в случае, когда обе функции одновременно равны M.
1. Найди ОДЗ уравнения или неравенства.
2. Оцени левую часть (например, выдели полный квадрат или примени ограниченность тригонометрической функции). Пусть получено f(x)⩽M.
3. Оцени правую часть. Убедись, что выполняется встречная оценка g(x)⩾M.
4. Перейди к системе уравнений, которая равносильна исходному:
5. Реши более простое уравнение системы и подставь его корни во второе уравнение для проверки.
Метод работает только тогда, когда M — точная граница: и для f, и для g значение M действительно принимается. Если, скажем, f(x)<M строго (граница не достигается), то система пуста, и уравнение корней не имеет. Поэтому в чистовике стоит явно написать: «M — точная нижняя/верхняя граница, достигается при …». Это и есть обоснование равносильного перехода к системе.
Близкий родственник полного квадрата и отдельный рабочий приём оценки. Если сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю, то каждое слагаемое равно нулю:
A2+B2=0⟺{A=0,B=0;∣A∣+(x−c)2+D=0⟺A=0, x=c, D=0.Это позволяет «расщепить» одно сложное уравнение на простую систему. Перед применением нужно показать, что все слагаемые неотрицательны (квадраты, модули, корни, 1−cost⩾0 и т. п.).
Если в уравнении f(x)=c функция f(x) строго возрастает (или строго убывает) на своей области определения, то она принимает значение c не более одного раза. Корень в таких задачах можно просто угадать (подобрать), а затем сослаться на монотонность как на доказательство его единственности.
Аналогично, если f(x) строго возрастает, а g(x) строго убывает (или постоянна), то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня. Сумма возрастающих функций возрастает; если каждое слагаемое слева возрастает — вся левая часть строго монотонна.
Найди наибольшее целое число, не превосходящее A=log2(17+122).
Реши уравнение log2(x2−4x+6)=1−sin(2πx).
Реши систему уравнений:
{tg2x+ctg2x=2cosy,x+y=4π.Реши уравнение x+3+3x+7=4.
Чаще на ДВИ корень в таких уравнениях табличный (целый), и подбор сходится сразу. Канонический пример из справочника: 3x+4x=5x. Поделив на 5x, получаем (53)x+(54)x=1; левая часть строго убывает, при x=2 равна 259+2516=1. Значит x=2 — единственный корень. Схема та же: угадал корень → сослался на строгую монотонность → единственность доказана без перебора.
Сравни без калькулятора числа a=2024−2023 и b=2023−2022 (что больше?).
Упрости выражение 7+43−7−43.
Самая частая ошибка здесь — написать 7−43=2−3 «по аналогии», не проверив знак. Если бы под вторым корнем стояло, скажем, (3−2)2 с 3<2, то (3−2)2=∣3−2∣=2−3, а не 3−2. Всегда t2=∣t∣ и знак фиксируется сравнением.
Докажи, что для любых положительных a,b,c выполняется
ba+cb+ac⩾3.Ошибка: при сравнении чисел переходить от A>B к A2>B2, не убедившись в неотрицательности A и B. Например, из −2>−5 не следует (−2)2>(−5)2 (на самом деле 4<25).
Правильно: перед возведением обеих частей в квадрат обязательно зафиксируй (или докажи), что обе части неравенства неотрицательны. Если части имеют разные знаки, квадрат не нужен — положительное число всегда больше отрицательного.
Ошибка: решая уравнение вида f(x)=g(x), сразу возводить в квадрат и брать все полученные корни. Возведение в квадрат — не равносильное преобразование: оно может добавить посторонние корни (те x, где g(x)<0), потому что f⩾0, а правая часть могла быть отрицательной.
Правильно: f(x)=g(x)⟺{f(x)=g2(x),g(x)⩾0. Условие g(x)⩾0 обязательно (см. справочник, разд. 4 «Иррациональные уравнения»). Либо возводи в квадрат и затем подставляй каждый корень в исходное уравнение, отбрасывая те, где левая и правая части не совпали по знаку.
Ошибка: решить уравнение/неравенство с логарифмами и записать все формальные корни, забыв про ОДЗ. Например, в logaf(x)=logag(x) нужно f(x)>0 (и тогда автоматически g(x)>0), а в logh(x)f(x) ещё и h(x)>0, h(x)=1.
Правильно: ОДЗ выписывай до преобразований и пересекай с ним финальный ответ. Пропавшее условие f(x)>0 — классическая потеря балла на ДВИ.
Ошибка: автоматически писать u+u1⩾2 для выражения x+x1, когда x может быть отрицательным. При x<0 на самом деле x+x1⩽−2, а не ⩾2 — оценка переворачивается.
Контраст (важно понять разницу): запись x2+x24⩾4 верна всегда при x=0 — оба слагаемых x2>0 и x24>0 неотрицательны, и AM–GM даёт x2+x24⩾2x2⋅x24=2⋅2=4. А вот x+x1⩾2 неверно, пока не зафиксирован знак x.
Правильно: неравенство 2a+b⩾ab (и его следствия) работает только для a⩾0, b⩾0. Если переменные могут быть отрицательными, разбирай случаи x>0 и x<0 отдельно.
Ошибка: оценив сумму снизу числом M по неравенству Коши, сразу заявить, что минимум равен M. Но минимум достигается только если выполнимо условие равенства a=b (или a1=⋯=an). Если это условие несовместно с ОДЗ задачи, граница M не достигается и не является минимумом.
Правильно: после оценки всегда проверяй, существует ли x, обращающий неравенство в равенство; для метода мажорант это и есть решение системы.
ДВИ оценивается по outcomes-рубрике «±»: важна не только верность ответа, но и полнота обоснований. Ниже — что обязательно должно присутствовать в чистовике, чтобы получить полный балл.
1. Выписать ОДЗ до преобразований (особенно для логарифмов, корней, тангенса). Финальный ответ пересечь с ОДЗ.
2. Оценить каждую часть строгой цепочкой неравенств. Не «очевидно, что f⩽M», а: «(x−2)2⩾0⇒(x−2)2+2⩾2⇒log2(…)⩾1».
3. Явно указать, что M — точная граница и достигается: «равенство f=M возможно лишь при …». Это обосновывает переход к системе.
4. Сформулировать равносильность: «уравнение f=g при f⩾M и g⩽M равносильно системе {f=M, g=M}».
5. Решить систему и проверить найденный корень подстановкой в оба уравнения и в ОДЗ. Записать ответ.
Лист формул на ДВИ не выдают. Базовые неравенства полезно уметь восстановить одной строкой (см. блок выше): a+a1⩾2 из (a−1)2⩾0; 2a+b⩾ab из (a−b)2⩾0. Если эксперт потребует обоснование «откуда ⩾2» — у тебя есть готовый вывод, а не ссылка на память.