Тригонометрические неравенства — ДВИ

Суть темы

На ДВИ по математике тригонометрические неравенства редко встречаются в чистом виде (как отдельный номер). Чаще всего они являются частью более сложной задачи: возникают при решении систем, при отборе корней, внутри логарифмов или под знаками корня.

Главная сложность тригонометрических неравенств на ДВИ — аккуратный учет ОДЗ, пересечение множеств решений и правильная запись ответа с периодами. В отличие от уравнений, где ответом является набор точек, решением неравенства всегда служит набор дуг на тригонометрической окружности.

Базовые тригонометрические неравенства

Любое сложное неравенство в итоге сводится к одному или нескольким простейшим вида $sin x > a,$ $cos x ⩽ a,$ $t g x ⩾ a .$ На экзамене листа формул под рукой не будет, поэтому надёжнее всего решать их геометрически — с помощью тригонометрической окружности. (Для произвольного, нетабличного $a$ — например $a = \frac{1}{3}$ — границы дуг всё равно записывают аналитически через $arcsin a,$ $arccos a,$ $arct g a;$ окружность при этом остаётся обоснованием.)

ВАЖНОЕ

Алгоритм для синуса и косинуса

1. Для $sin x ≷ a$ проведи горизонтальную прямую $y = a .$
2. Для $cos x ≷ a$ проведи вертикальную прямую $x = a .$
3. Выдели дугу, соответствующую знаку неравенства (выше/ниже прямой для синуса, правее/левее для косинуса).
4. Запиши интервал для выделенной дуги, двигаясь строго против часовой стрелки (от меньшего угла к большему), и прибавь период $2 π n .$

Тяните угол θ по окружности и следите, где sin(θ) больше/меньше заданного a

Тригонометрическая окружность для синуса

Формулы без листа (минимум, который надо помнить)

На ДВИ листа формул нет, а почти каждый разбор ниже опирается на эти тождества. Их нужно знать наизусть; ниже — самые рабочие, с короткими подсказками к выводу. Полный список — в справочнике (раздел «Тригонометрия»).

ВАЖНОЕ

Тождества, без которых не обойтись

Основное тождество и следствия:

sin^{2} x + cos^{2} x = 1 \Rightarrow cos^{2} x = 1 - sin^{2} x, sin^{2} x = 1 - cos^{2} x .

Двойной угол (три формы $cos 2 x$ выводятся из $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ заменой $sin^{2}$ или $cos^{2}$ через основное тождество):

sin 2 x = 2 sin x cos x, cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1.

Понижение степени (просто переставленные формы $cos 2 x$ — пригодятся, чтобы убрать квадрат):

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2} .

Вспомогательный угол (сворачивает $a sin x + b cos x$ в одну функцию):

a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + φ), cos φ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin φ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}} .

Формулы приведения (правило «чёт/нечёт + смена функции»): сдвиг на $\frac{π}{2}$ или $\frac{3 π}{2}$ меняет $sin \leftrightarrow cos,$ сдвиг на $π$ или $2 π$ — нет; знак ставим по той четверти, куда попадает угол. Например: $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x,$ $cos (π - x) = - cos x,$ $t g (π + x) = t g x .$

✓СОВЕТ

Зачем это здесь

Если на экзамене аргументы «разъезжаются» (где-то $x,$ где-то $2 x,$ где-то $\frac{x}{2}$ ), сначала приведи всё к одному аргументу именно этими формулами — и только потом рисуй окружность. Окружность работает с одной функцией одного аргумента.

Основные методы решения

Если неравенство не является простейшим, его нужно преобразовать. На ДВИ применяют четыре основных подхода:

1. Алгебраическая замена. Если в неравенстве присутствует только одна функция (или ее можно получить через основное тригонометрическое тождество), сделай замену $t = sin x$ или $t = cos x .$ Реши алгебраическое неравенство методом интервалов, а затем вернись к тригонометрии. Не забудь: новая переменная ограничена, $∣ t ∣ ⩽ 1$ для синуса/косинуса, — часть алгебраических решений может оказаться пустой (см. Пример 1).
2. Разложение на множители + метод интервалов на окружности. Перенеси все слагаемые в одну часть и сгруппируй. Если удастся привести неравенство к виду $f (x) \cdot g (x) ≷ 0$ (или к дроби $\frac{f}{g} ≷ 0$ ), знак произведения/частного читается по окружности методом интервалов (см. ниже) — это короче и надёжнее ручного перебора систем.
3. Метод вспомогательного угла. Идеально работает для комбинаций вида $a sin x + b cos x$ (см. блок формул выше).
4. Универсальная подстановка $t = t g \frac{x}{2}$ — запасной метод, когда в неравенстве смешаны $sin x$ и $cos x$ и ничто другое не помогает (см. ниже). Применяй осторожно: подстановка теряет серию $x = π + 2 π k$ (там $t g \frac{x}{2}$ не существует) — её надо проверить отдельной подстановкой в исходное неравенство.

ВАЖНОЕ

Обобщённый метод интервалов на тригонометрической окружности

Чтобы решить $f (x) \cdot g (x) ≷ 0$ или $\frac{f ( x )}{g ( x )} ≷ 0,$ где $f, g$ — простейшие тригонометрические выражения:

1. Найди на окружности все нули $f$ и нули $g$ за один период (для дроби нули знаменателя — выколотые).
2. Эти точки разбивают окружность на дуги. На любой одной дуге определи знаки $f$ и $g$ (подставь удобную точку), перемножь — получишь знак выражения на дуге.
3. При переходе через простой нуль (нечётной кратности) знак меняется, через нуль чётной кратности — нет.
4. Выбери дуги нужного знака; концы включай по правилу строгости (см. раздел ниже).

Это тот же метод интервалов, что на прямой, только «ось» свёрнута в окружность. Он заменяет громоздкий перебор «Случай 1 / Случай 2» и не даёт потерять случай.

Строгость неравенства: когда конец дуги включён, а когда выколот

Это самый частый источник потери частичного балла « $\pm$ » на ДВИ. Правило простое, но его надо проговорить в решении явно.

ВАЖНОЕ

Правило включения/выколотости концов

Граница дуги — это точка, где соответствующее выражение равно $a$ (или где множитель/числитель обращается в нуль). Тогда:

Нестрогое неравенство ( $⩽,$ $⩾$ ): точка, где выражение $= a$ (или произведение/числитель $= 0$ ), удовлетворяет неравенству, значит конец дуги включён (закрашен, скобка квадратная $[]$ ). Исключение — только если эта точка запрещена ОДЗ: тогда её всё равно выкалывают.
Строгое неравенство ( $<,$ $>$ ): точка, где выражение $= a,$ не удовлетворяет, значит конец выколот (белая точка, скобка круглая $()$ ).
Нули знаменателя и точки вне ОДЗ (например $cos x = 0$ для $t g x,$ $sin x = 0$ под корнем) всегда выколоты, независимо от строгости — там выражение просто не существует.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Один и тот же конец может быть закрыт «по числителю» и открыт «по ОДЗ»

В дробных неравенствах различай два источника границы. Если точка — нуль числителя и неравенство нестрогое, конец включается (там дробь $= 0,$ что годится для $⩾ 0$ ). Если точка — нуль знаменателя или граница ОДЗ, конец выколот всегда. На одной дуге один конец может быть закрытым (числитель), а другой открытым (ОДЗ) — это нормально и именно за это снимают « $\pm$ », если перепутать. Подробно показано в Примере 3.

Алгоритм решения сложного неравенства

АЛГОРИТМ

Как действовать на экзамене

1. Выпиши ОДЗ. Если есть знаменатели, корни четной степени или логарифмы — сразу запиши ограничения на тригонометрическую функцию.
2. Упрости аргументы. Избавься от двойных и половинных углов, используй формулы приведения (блок «Формулы без листа»), чтобы везде был один и тот же аргумент (например, только $x$ ).
3. Примени один из основных методов (замена, разложение на множители + интервалы, вспомогательный угол, при необходимости $t = t g \frac{x}{2}$ ), чтобы свести неравенство к базовым.
4. Нарисуй окружность. Отметь на ней все полученные дуги и выколи точки, запрещенные ОДЗ.
5. Запиши ответ. Внимательно проследи за обходом дуг против часовой стрелки, проверь строгость каждого конца (включён/выколот) и не забудь прибавить период $2 π n$ (или $π n$ ) к каждому концу интервала.

Примеры разбора задач

ПРИМЕР 1

Сведение к квадратному неравенству

Реши неравенство $2 cos^{2} x - sin x < 1 .$

Следующий пример демонстрирует классический сюжет ДВИ, где требуется скомбинировать формулы двойного угла и метод вспомогательного угла.

ПРИМЕР 2

Разложение на множители и вспомогательный угол

Реши неравенство $sin x + cos x + 2 cos 2 x ⩽ 0 .$

✓СОВЕТ

Сравни с перебором систем

Тот же ответ можно получить «в лоб», расписав $sin t (cos t + \frac{1}{2}) ⩽ 0$ как совокупность двух систем (множители разных знаков): ${sin t ⩾ 0, cos t ⩽ - \frac{1}{2}}$ и ${sin t ⩽ 0, cos t ⩾ - \frac{1}{2}},$ и пересекать дуги для каждой. Это работает, но длиннее и легче потерять случай. Метод интервалов на окружности (таблица знаков) — компактнее и менее ошибкоопасен; на ДВИ он же служит обоснованием.

ПРИМЕР 3

Тригонометрия с жесткой ОДЗ

Реши неравенство $\frac{2 cos ^{2} x - 1}{- sin x} ⩾ 0 .$

ПРИМЕР 4

Неравенство с тангенсом (период

π,

выколотые асимптоты)

Реши неравенство $t g x ⩾ 3 .$

ПРИМЕР 5

Неравенство как этап отбора корней

Реши уравнение $cos x = - \frac{1}{2}$ при условии $sin x > 0 .$

✓СОВЕТ

Запасной метод: универсальная подстановка

t = t g \frac{x}{2}

Если в неравенстве намертво смешаны $sin x$ и $cos x$ и ни замена, ни вспомогательный угол не разворачивают его в одну функцию, выручает универсальная подстановка:

sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, t = t g \frac{x}{2} .

Неравенство превращается в рациональное относительно $t$ — решается методом интервалов на прямой. Цена метода: подстановка не «видит» точку $x = π + 2 π k$ (там $t g \frac{x}{2}$ не существует), поэтому эту серию надо проверить отдельной подстановкой в исходное неравенство и при необходимости дописать в ответ. На ДВИ это законный, но «тяжёлый» инструмент — применяй, когда другие не сработали.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря периода или неправильный обход

Ошибка: Решая $cos x ⩽ \frac{1}{2},$ записать ответ как $x \in [\frac{π}{3} + 2 π n; - \frac{π}{3} + 2 π n] .$
Правильно: Левая граница интервала всегда должна быть меньше правой (обходим против часовой стрелки). Правильная запись: $x \in [\frac{π}{3} + 2 π n; \frac{5 π}{3} + 2 π n] .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на функцию с переменной

Ошибка: В неравенстве $sin x cos x > sin x$ разделить обе части на $sin x$ и решать $cos x > 1 .$
Правильно: Делить на выражение, знак которого неизвестен, в неравенствах строго запрещено. Перенеси все влево: $sin x (cos x - 1) > 0$ и рассматривай знаки множителей методом интервалов на окружности.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Домножение на

- 1

без смены знака

Ошибка: В $- 2 sin^{2} x - sin x + 1 < 0$ умножить на $- 1$ и оставить $2 sin^{2} x + sin x - 1 < 0 .$
Правильно: Умножение (или деление) неравенства на отрицательное число разворачивает знак: получится $2 sin^{2} x + sin x - 1 > 0$ (см. Пример 1). Это одна из самых дорогих по баллам арифметических оплошностей.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыть ограничение

∣ t ∣ ⩽ 1

после замены

Ошибка: После замены $t = sin x$ (или $cos x$ ) и решения алгебраического неравенства записать в ответ серию из $sin x < - 1$ или $cos x > 1 .$
Правильно: Для синуса и косинуса $- 1 ⩽ t ⩽ 1 .$ Любой кусок алгебраического решения, выходящий за $[- 1; 1],$ даёт пустое множество и в ответ не идёт (см. Пример 1, ветка $sin x < - 1$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутать период

π k

2 π n

при пересечении серий

Ошибка: При пересечении решения с ОДЗ (как в Примере 3) приписать обеим сериям одинаковый период «на автомате».
Правильно: У серии от $cos 2 x$ период $π k,$ у дуги ОДЗ — $2 π n .$ Сначала найди физическое пересечение на одном витке (подставив $k = 0, \pm 1$ ), и только потом приписывай итоговым дугам $+ 2 π n .$

Что запомнить

Базовые неравенства удобнее всего решать геометрически (рисуй окружность); для нетабличного $a$ границы дуг записывай через $arcsin a / arccos a / arct g a .$
Интервал дуги записывается от меньшего значения к большему против часовой стрелки.
Для тангенса период $π n,$ для синуса и косинуса — $2 π n .$
Строгость концов: нестрогое неравенство — границы, где функция $= a,$ включены; строгое — выколоты; точки вне ОДЗ (асимптоты, нули знаменателя) выколоты всегда.
Всегда начинай с ОДЗ, особенно если есть корни, дроби или логарифмы. Пересекай финальный ответ с ОДЗ на единой окружности.
Произведения и частные читай методом интервалов на окружности (таблица знаков на дугах), а не ручным перебором систем.
Выражения вида $a sin x + b cos x$ сворачивай в один синус вспомогательного угла; ключевые тождества (двойной угол, понижение степени, приведения) держи в памяти — листа формул на ДВИ нет.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Обоснование ответа

Проверяющие на мехмате и ВМК снимают баллы за необоснованные переходы. Если ты переходишь от $sin t (cos t + 1/2) ⩽ 0$ к ответу в виде интервалов без пояснений — решение сочтут неполным. Обязательно выписывай знаки множителей (таблица интервалов на окружности либо системы для каждого случая) и рисуй пересечение дуг на тригонометрической окружности. Окружность — твое главное доказательство.

✓СОВЕТ

Как теряют «

\pm

»: чек-лист под рубрику

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике с частичным баллом « $\pm$ ». Полный балл за неравенство получают, когда верны И метод, И все серии, И строгость концов, И ОДЗ. Частичный « $\pm$ » обычно ставят, когда метод верный, но есть локальная потеря. Самые типичные потери балла именно в этой теме:

Потеряна серия/случай — отброшена одна из двух дуг произведения или одна из серий уравнения при отборе (Пример 5).
Перепутан период — $π k$ vs $2 π n$ при пересечении серий с ОДЗ (Пример 3).
Неверная строгость концов — закрыли там, где надо выколоть (граница ОДЗ), или наоборот (нестрогое неравенство, нуль числителя).
Деление на функцию неизвестного знака — вместо переноса влево и разложения на множители.
Домножение на $- 1$ без смены знака или забытое ограничение $∣ t ∣ ⩽ 1$ после замены.
Нет обоснования — ответ записан без окружности/таблицы знаков (для мехмата и ВМК это «решение неполное», даже если число верное).

Перед сдачей пройдись по этому списку — он напрямую конвертируется в баллы.

✓СОВЕТ

Выбор периода при пересечении с ОДЗ

При пересечении серий корней или дуг (как в Примере 3) часто возникают путаницы с периодами $π k$ и $2 π n .$ Чтобы не ошибиться, выпиши базовый интервал ОДЗ (например, $(0; 2 π)$ или $(- π; 0)$ ), подставь в решение $k = 0, 1, - 1$ и найди физическое пересечение дуг на этом конкретном витке. Только после этого приписывай к границам $+ 2 π n .$

Оформление под рубрику ДВИ

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения (что проверяющий хочет увидеть)

1. ОДЗ выписано отдельной строкой — до всех преобразований. Если ОДЗ нет, так и пиши: «ОДЗ: $x \in R$ ».
2. Каждое преобразование обосновано — какое тождество применено (двойной угол, разложение, вспомогательный угол), почему переход равносильный.
3. Сведение к базовым неравенствам — явно названы простейшие $sin / cos / t g ≷ a,$ к которым всё свелось.
4. Окружность как доказательство — приведён чертёж (или словесно описаны дуги и их знаки); для произведений — таблица знаков по дугам.
5. Строгость концов проговорена — для каждого граничного значения сказано, включается оно или выколото, и почему (строгость неравенства / ОДЗ).
6. Пересечение с ОДЗ — финальные дуги пересечены с ОДЗ на одном витке, периоды согласованы.
7. Ответ с периодом — все серии с правильным периодом ( $2 π n$ или $π n$ ), корректными скобками, $n \in Z .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «

\pm

» (и как не дать повода)

Верный метод, но потеряна серия или случай → пиши обе ветки произведения, проверяй обе серии уравнения.
Перепутана строгость концов → всегда отдельной фразой объясняй включён/выколот конец.
Несогласованные периоды → пересекай на одном витке, период приписывай в самом конце.
Нет окружности/таблицы знаков → даже верный числовой ответ без обоснования = неполное решение.
ОДЗ не учтено или учтено формально → выколи всё запрещённое явно, покажи это на чертеже.

Проверь себя0 из 4

1.Какой период нужно прибавлять к концам интервалов при решении неравенства

t g x ⩾ 3 ?

2.Неравенство

sin x > \frac{1}{2}

— какие скобки у концов дуги

\frac{π}{6}

\frac{5 π}{6}

в ответе?

3.После замены

t = sin x

получилось

t < - 1

или

t > \frac{1}{2} .

Что даёт ветка

t < - 1 ?

4.Точка — нуль знаменателя дроби в нестрогом неравенстве

\frac{f ( x )}{g ( x )} ⩾ 0 .

Включается ли она в ответ?