Треугольники — ДВИ

Алгебраический подход к планиметрии

Задачи по планиметрии на ДВИ МГУ чаще всего требуют не хитрых дополнительных построений, а уверенного владения алгебраическим методом. Суть метода: ты переводишь геометрическое условие на язык алгебры, составляешь систему уравнений относительно элементов треугольника (длин сторон, углов, площади) и решаешь её.

Чтобы этот подход работал, нужно держать в голове арсенал метрических теорем. Лист с формулами на экзамене не выдают.

Главные метрические теоремы и формулы

Для произвольного треугольника $A B C$ со сторонами $a, b, c$ (лежащими против соответствующих углов) и полупериметром $p = \frac{a + b + c}{2}$ базовыми являются следующие соотношения.

ВАЖНОЕ

Пять формул площади треугольника

Площадь $S$ можно выразить в зависимости от набора известных элементов:

S = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} ab sin C = p (p - a) (p - b) (p - c)

S = p r = \frac{ab c}{4 R}

где $r$ — радиус вписанной, а $R$ — радиус описанной окружности.

Из цепочки формул площади можно легко выражать радиусы. Например, для поиска $R$ есть две удобные возможности: из формулы $S = \frac{ab c}{4 R}$ (тогда $R = \frac{ab c}{4 S}$ ) или из расширенной теоремы синусов $2 R = \frac{a}{sin A} .$ Аналогично радиус вписанной окружности всегда даёт связка $r = \frac{S}{p}$ (см. справочник, §8).

ВАЖНОЕ

Теоремы синусов и косинусов

Теорема синусов связывает стороны, углы и радиус описанной окружности:

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Теорема косинусов связывает три стороны и один угол:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Произвольный треугольник с обозначениями

Медианы и биссектрисы также выражаются через стороны аналитически. На ДВИ эти формулы часто позволяют свести задачу к простому уравнению.

ВАЖНОЕ

Формулы медианы и биссектрисы

Квадрат медианы, проведённой к стороне $a :$

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}

Длина биссектрисы, проведённой к стороне $c$ (выражение через стороны и косинус половинного угла):

l_{c} = \frac{2 ab cos ( \frac{C}{2} )}{a + b} = \frac{ab ( a + b + c ) ( a + b - c )}{a + b}

Однако на ДВИ гораздо чаще нужна не длина биссектрисы, а её главное свойство деления стороны. Это базовый инструмент для задач на отношения отрезков.

ВАЖНОЕ

Теорема о биссектрисе: деление противоположной стороны

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Если биссектриса из вершины $A$ пересекает сторону $B C$ в точке $D,$ то

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b} .

Отсюда сразу получаются длины отрезков: $B D = \frac{a c}{b + c},$ $D C = \frac{ab}{b + c}$ (здесь $a = B C$ ).

Длину самой биссектрисы из $A$ удобно искать через теорему Стюарта (см. ниже) в компактной форме:

A D^{2} = A B \cdot A C - B D \cdot D C = b c - B D \cdot D C .

Биссектриса угла A делит сторону BC в отношении AB

ВАЖНОЕ

Теорема Стюарта (обобщение для любой чевианы)

Если чевиана $A D$ делит сторону $B C$ на отрезки $B D = m$ и $D C = n$ (так что $a = m + n$ ), то

A D^{2} \cdot a + m n a = A B^{2} \cdot n + A C^{2} \cdot m .

Это один универсальный инструмент, из которого как частные случаи выводятся и формула медианы ( $m = n = \frac{a}{2}$ ), и формула биссектрисы. На ДВИ Стюарт экономит вывод, когда чевиана задана не серединой и не биссектрисой.

Для задач на отношения отрезков и конкурентность чевиан алгебраический аппарат дополняют две классические теоремы.

ВАЖНОЕ

Теоремы Менелая и Чевы

Менелай. Если прямая-секущая пересекает прямые, содержащие стороны $△ A B C$ (или их продолжения), в точках $C_{1} \in A B,$ $A_{1} \in B C,$ $B_{1} \in C A,$ то

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1.

Теорема Менелая — про коллинеарность трёх точек (лежат на одной прямой).

Чева. Чевианы $A A_{1},$ $B B_{1},$ $C C_{1}$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1.

Теорема Чевы — про конкурентность (отрезки через одну точку). Отношения берут по обходу контура; в формуле Менелая одна из точек лежит на продолжении стороны.

Менелай и Чева: секущая и три конкурентные чевианы

Замечательные точки и линии

Готовые факты о замечательных точках треугольника часто сокращают выкладки на ДВИ.

ВАЖНОЕ

Центроид, инцентр, формула Эйлера

Центроид (точка пересечения медиан) делит каждую медиану в отношении $2 : 1,$ считая от вершины: если $M$ — центроид и $m_{a}$ — медиана из $A,$ то расстояние от $A$ до $M$ равно $\frac{2}{3} m_{a} .$
Инцентр (точка пересечения биссектрис) — центр вписанной окружности; он равноудалён от всех трёх сторон на расстояние $r .$
Ортоцентр — точка пересечения высот.
Связь радиусов и расстояния между центрами (формула Эйлера):

O I^{2} = R^{2} - 2 R r,

где $O$ — центр описанной, $I$ — центр вписанной окружности. Отсюда мгновенно следует неравенство Эйлера $R ⩾ 2 r$ (равенство — только для правильного треугольника).

Признаки подобия и равенства

Алгебраический метод опирается на подобие как на источник пропорций. Держи признаки в активной памяти — на ДВИ их применение нужно называть явно, иначе рубрика снимает балл за необоснованный переход.

ВАЖНОЕ

Признаки подобия и равенства треугольников

Подобие ( $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ):

по двум углам (если $∠ A = ∠ A_{1}$ и $∠ B = ∠ B_{1}$ );
по двум сторонам и углу между ними (пропорциональность $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ и $∠ A = ∠ A_{1}$ );
по трём пропорциональным сторонам.

При подобии с коэффициентом $k = \frac{A B}{A _{1} B _{1}} :$ сходственные линейные элементы относятся как $k,$ а площади — как $k^{2} .$

Равенство — те же признаки с заменой пропорциональности на равенство (по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам).

Алгоритм решения методом уравнений

АЛГОРИТМ

Алгоритм составления системы

1. Выбери базис. Обозначь неизвестные ключевые элементы за переменные (обычно это длины сторон $x, y$ или части стороны, на которые её делит высота/биссектриса).
2. Переведи условие в формулы. Запиши все данные задачи через выбранные переменные, используя теоремы косинусов/синусов и формулы площади.
3. Составь систему. Если нужно найти две стороны, тебе понадобятся два независимых уравнения. Если в задаче фигурирует медиана, сразу пиши формулу медианы; если углы — теорему синусов или косинусов; если биссектриса делит сторону — теорему о биссектрисе.
4. Реши алгебраически. Часто системы в геометрии решаются заменой переменных (например, поиск суммы $x + y$ и произведения $x y$ для использования теоремы Виета).
5. Проверь геометрию. Полученные корни должны быть положительными, и для них должно выполняться неравенство треугольника (сумма любых двух сторон больше третьей). Если конфигурация задана не однозначно (см. ниже), не теряй второй случай.

Примеры разбора задач

Начнём с классической связки «площадь + теорема косинусов», которая показывает суть алгебраического подхода.

ПРИМЕР 1

Связка площади и теоремы косинусов

Условие. В треугольнике $A B C$ известна площадь $S = 103,$ угол $∠ C = 6 0^{\circ},$ а сумма квадратов сторон $B C^{2} + A C^{2} = 89 .$ Найдите длину стороны $A B .$

Следующий пример иллюстрирует, как знание специфических формул для прямоугольного треугольника избавляет от сложных геометрических построений.

ПРИМЕР 2

Прямоугольный треугольник и окружность

Условие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $13,$ а радиус вписанной окружности равен $2 .$ Найдите площадь этого треугольника.

Третий пример — задача уровня ДВИ, объединяющая подобие и метрические формулы.

ПРИМЕР 3

Комбинация подобия и метрики

Условие. В треугольнике $A B C$ проведена медиана $A E .$ Известно, что $∠ B A E = ∠ B C A,$ длина стороны $A B = 4,$ а $cos ∠ B = \frac{1}{4} .$ Найдите длину стороны $A C .$

Четвёртый пример вводит в работу теорему о биссектрисе и теорему Стюарта — связку, которая закрывает целый класс ДВИ-задач на чевианы.

ПРИМЕР 4

Биссектриса: отношение и длина

Условие. В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 6$ и $A C = 4,$ $B C = 5 .$ Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $B C$ в точке $D .$ Найдите длины отрезков $B D,$ $D C$ и длину биссектрисы $A D .$

Пятый пример — задача на отношения отрезков теоремой Менелая, типовой алгебраический инструмент ДВИ.

ПРИМЕР 5

Теорема Менелая на отношения отрезков

Условие. В треугольнике $A B C$ точка $P$ лежит на стороне $A B,$ причём $A P : P B = 1 : 2,$ а точка $Q$ — на стороне $B C,$ причём $B Q : QC = 3 : 1 .$ Прямая $P Q$ пересекает прямую $A C$ в точке $R$ (вне отрезка $A C$ ). В каком отношении точка $R$ делит сторону $A C,$ то есть найдите $C R : R A .$

Шестой пример демонстрирует то, о чём предупреждает раздел ошибок: реальный отбор корней и проверку существования.

ПРИМЕР 6

Отбор корней и неравенство треугольника

Условие. В прямоугольном треугольнике один катет на $7$ больше другого, а гипотенуза на $8$ больше меньшего катета. Найдите стороны треугольника.

Седьмой пример показывает противоположную ловушку — когда отбрасывать корень нельзя, потому что задача допускает две конфигурации.

ПРИМЕР 7

Неоднозначность конфигурации (два треугольника)

Условие. В треугольнике $A B C$ сторона $A B = 7,$ сторона $A C = 5,$ а косинус угла $B$ равен $\frac{11}{14} .$ Найдите все возможные значения длины стороны $B C .$

Восьмой пример — задача на доказательство. ДВИ любит формулировки «докажите, что…», и здесь важно не довести до числа, а строго замкнуть каждый логический переход.

ПРИМЕР 8

Задача на доказательство

Условие. Докажите, что если медиана треугольника, проведённая к некоторой стороне, равна половине этой стороны, то треугольник прямоугольный.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря проверки существования

Ошибка: При решении квадратного (или после возведения в квадрат — иррационального) уравнения относительно длины стороны получить два корня и записать оба в ответ, не проверив положительность и неравенство треугольника.
Правильно: Длина строго положительна — отрицательный или нулевой корень посторонний (см. Пример 6: корень $x = - 3$ отброшен). Для оставшихся корней проверяй неравенство треугольника: $a + b > c,$ $a + c > b,$ $b + c > a .$ Если хотя бы одно не выполняется — треугольника не существует, корень посторонний.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря второй конфигурации (ловушка SSA)

Ошибка: В задаче, где даны две стороны и угол, не заключённый между ними (или известны сторона, сторона и угол напротив одной из них), получить квадратное уравнение с двумя положительными корнями и оставить только один — «отбросив» второй как лишний.
Правильно: Проверяй каждый положительный корень на неравенство треугольника. Если оба корня дают существующий треугольник (как в Примере 7: $B C = 3$ и $B C = 8$ ), оба идут в ответ. Потеря второй конфигурации — типовая причина потери баллов на ДВИ. Геометрически это две точки пересечения дуги (радиус — данная сторона) со вторым лучом угла.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованное извлечение корня и знак косинуса

Ошибка: В теореме косинусов забыть удвоенное произведение или знак минус перед ним. Извлекая корень из выражения вида $x^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C,$ написать $\pm$ для длины отрезка.
Правильно: Длина всегда строго положительна, $\pm$ для неё недопустим. При этом помни: если угол $C$ тупой, то $cos C < 0$ (например, $cos C = - \frac{1}{2}$ ), и минус в формуле «переворачивается» в плюс: $c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab .$ Внимательно следи за знаком косинуса — потеря тупого случая ведёт к неверной стороне.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованный признак подобия

Ошибка: Сослаться на подобие треугольников «на глаз», не назвав признак и не указав, какие именно элементы равны/пропорциональны.
Правильно: Всегда называй признак явно («подобны по двум углам: общий угол $B$ и $∠ B A E = ∠ B C A$ ») и проверяй соответствие вершин в записи $△ A B E \sim △ C B A$ — порядок букв задаёт сходственные стороны. На ДВИ рубрика снимает балл за необоснованную пропорцию.

Что запомнить

Симметричные системы: В задачах на площади и периметры часто возникают системы вида ${x + y = A, x y = B} .$ Решай их подстановкой или через теорему Виета.
Если дана медиана — сразу вспоминай формулу удвоенной суммы квадратов $4 m_{a}^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}$ или достраивай треугольник до параллелограмма.
Если в задаче биссектриса — её главное свойство $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C},$ а длину быстро даёт $A D^{2} = b c - B D \cdot D C$ (Стюарт).
Отношения отрезков и конкурентность чевиан — это Менелай (коллинеарность) и Чева (одна точка).
Центроид делит медиану $2 : 1$ от вершины; для радиусов есть готовая связка $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ (откуда $R ⩾ 2 r$ ).
Если треугольник прямоугольный, формулы $R = \frac{c}{2}$ и $r = \frac{a + b - c}{2}$ экономят половину времени на вычисления.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике: за каждый завершённый и обоснованный логический блок ставится плюс, за пропуск или необоснованный переход — «±» (частичный балл) или минус. В геометрии важно не только довести до числа, но и строго обосновать каждый шаг и закрыть все конфигурации.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения планиметрической задачи

1. Дано — найти — чертёж. Выпиши данные в обозначениях ( $a, b, c,$ углы), сделай аккуратный чертёж с обозначениями. Чертёж — часть решения: на нём видно, какие конфигурации возможны.
2. Обоснование каждого факта. Признак подобия/равенства — назови явно. Применяешь теорему о биссектрисе, Менелая, Стюарта — сошлись на неё и проверь условия применимости. Нетривиальную формулу (медиана, биссектриса) — выведи в одну строку, лист формул не выдаётся.
3. Аккуратные преобразования. При возведении в квадрат помечай переход как следствие и проверяй потом; при делении на выражение с переменной разбирай случай «делитель $= 0$ ».
4. Полный разбор случаев. Если конфигурация неоднозначна (SSA, острый/тупой угол, точка внутри или на продолжении стороны), разбери каждый случай до конца. Пропущенный случай рубрика видит сразу.
5. Проверка и отбор. Положительность длин, неравенство треугольника, ОДЗ углов ( $0 < α < 18 0^{\circ}$ ). Отсей посторонние корни явно.
6. Ответ в требуемой форме. Все найденные значения (а если их несколько — все), упрости радикалы до простейшего вида (например, $48 - 82$ дальше не упрощается — оставляем как есть).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±»

Сослался на подобие/равенство без указания признака или с неверным порядком вершин.
Применил теорему о биссектрисе/Менелая/Чевы без проверки условий (точка на стороне, а не на продолжении, и т.п.).
Получил два положительных корня и оставил один, не проверив, не существуют ли обе конфигурации (ловушка SSA).
Записал $\pm$ для длины отрезка или потерял тупой случай (знак косинуса).
Не проверил неравенство треугольника для найденной тройки сторон.
Использовал формулу (медианы, биссектрисы, Стюарта) без вывода там, где её знание под сомнением — лист формул не выдаётся.
Не выписал ОДЗ для углов или длин и сделал «обоснование задним числом».

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Алгебра решает

Если геометрическая идея (дополнительное построение, хитрая окружность) не приходит в голову за первые 5–7 минут размышлений над планиметрией (а это одна из геометрических задач варианта), вводи переменные и пиши формулы. Проверяющие оценивают полноту доказательства. Даже если алгебраический путь длиннее, он методичен и с меньшей вероятностью приведёт к логическим дырам, за которые снимают баллы.
Внимательно следи за ОДЗ в геометрии: аргументы тригонометрических функций — это углы треугольника ( $0 < α < 18 0^{\circ}$ ), длины отрезков $x > 0 .$ И помни про неоднозначность конфигурации: где задача допускает два треугольника, в ответе должны быть оба.

Проверь себя0 из 4

1.Биссектриса из вершины

A

треугольника

A B C

пересекает сторону

B C

в точке

D .

Чему равно отношение

\frac{B D}{D C} ?

2.В прямоугольном треугольнике с катетами

a,

b

и гипотенузой

c

радиус вписанной окружности равен

3.Дана конфигурация SSA: две стороны и угол не между ними. Квадратное уравнение на третью сторону дало два положительных корня, и оба удовлетворяют неравенству треугольника. Что писать в ответ?

4.Формула Эйлера связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей:

O I^{2} = R^{2} - 2 R r .

Какое неравенство из неё следует?