Суть текстовых задач на ДВИ

Текстовые задачи на ДВИ МГУ (обычно это номера 2, 5 или 6) концептуально отличаются от школьных. Главная сложность — избыток неизвестных. Часто в задаче невозможно найти каждую переменную в отдельности, но этого и не требуется. Цель — составить систему математических знаний (уравнений) на основе здравого смысла и найти конкретную комбинацию переменных (например, $\frac{S}{v _{1} + v _{2}}$ или $x \cdot y$ ).

На ДВИ встречаются четыре основных типа сюжетов: движение, совместная работа, смеси/сплавы и задачи на целочисленную оптимизацию.

Основные формулы и подходы

1. Движение и работа

Математически движение и работа — это одно и то же. Расстояние $S$ аналогично объёму работы $A,$ скорость $v$ аналогична производительности $p .$

Базовые уравнения

S = v \cdot t (движение)

A = p \cdot t (работа)

Правило единицы

Если в задаче на работу не указан конкретный объём (детали, литры, гектары), всегда принимай всю работу за $A = 1 .$ Тогда производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени ( $p = 1/ t$ ). То же самое касается расстояния в задачах на движение, если ни путь, ни скорости не даны в километрах.

2. Смеси и сплавы

Главное правило ДВИ для смесей: избегай процентов. Проценты путают и усложняют уравнения. Переходи к долям или к абсолютным массам «чистого вещества».

Концентрация

C = \frac{m _{чистого}}{m _{смеси}} ⟹ m_{чистого} = C \cdot m_{смеси}

При сливании растворов складываются массы самих растворов и массы чистого вещества в них:
$m_{чист . 1} + m_{чист . 2} = m_{чист . итог} .$

3. Оптимальный выбор и целые числа

Это специфический класс задач МГУ. Если речь идёт о людях, ящиках, станках или рейсах грузовика, переменные обязаны принадлежать множеству натуральных чисел $N .$ Это условие позволяет решать системы, где уравнений меньше, чем неизвестных (диофантовы уравнения).

Делимость

Если произведение $a \cdot b$ делится на простое число $p,$ и $a$ не делится на $p,$ то $b$ обязательно делится на $p .$

Алгоритм решения текстовой задачи

Стратегия составления системы

1. Выбери неизвестные. В задачах на движение всегда обозначай скорости и расстояния, на работу — производительности. Не бойся ввести 4-5 переменных.
2. Переведи текст в формулы. Разбей условие на отдельные фразы. Каждая независимая фраза — это одно уравнение. Следи за размерностями (не смешивай часы и минуты).
3. Запиши, что нужно найти. Вырази искомый ответ через введённые переменные. Это задаст цель: возможно, тебе не нужно искать $v_{1}$ и $v_{2},$ а достаточно найти их отношение $\frac{v _{1}}{v _{2}} .$
4. Реши систему. Выражай одни «блоки» переменных через другие.

Примеры решения задач

Пример 1. Поиск блока переменных (Движение)

Из пункта А в пункт Б вышел пешеход, а одновременно с ним из пункта Б в А выехал велосипедист. Они встретились через $40$ минут после начала движения. Известно, что пешеход прибыл в пункт Б на $1$ час позже, чем велосипедист прибыл в А. За какое время пешеход проходит весь путь от А до Б?

Показать решение

Пусть $S$ — расстояние между пунктами. Так как ни расстояние, ни скорости не даны в абсолютных величинах (км, км/ч), примем $S = 1 .$
Пусть $v_{p}$ — скорость пешехода, $v_{c}$ — скорость велосипедиста.
Время измеряем строго в часах: $40 минут = \frac{2}{3} часа .$

Первое условие (встреча через $40$ минут): скорость сближения равна $v_{p} + v_{c} .$

\frac{1}{v _{p} + v _{c}} = \frac{2}{3}

Второе условие (разница во времени прибытия): пешеход тратит на весь путь $\frac{1}{v _{p}}$ часов, а велосипедист $\frac{1}{v _{c}}$ часов.

\frac{1}{v _{p}} - \frac{1}{v _{c}} = 1

Нам нужно найти время пешехода, то есть величину $t = \frac{1}{v _{p}} .$
Для удобства введём замену: $t = \frac{1}{v _{p}}$ (искомое время) и $u = \frac{1}{v _{c}} .$ Тогда $v_{p} = \frac{1}{t}$ и $v_{c} = \frac{1}{u} .$
Перепишем систему:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{\frac{1}{t} + \frac{1}{u}} = \frac{2}{3} t - u = 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ \frac{t u}{t + u} = \frac{2}{3} u = t - 1

Подставим $u$ в первое уравнение:

\frac{t ( t - 1 )}{2 t - 1} = \frac{2}{3}

3 t^{2} - 3 t = 4 t - 2 ⟹ 3 t^{2} - 7 t + 2 = 0

Дискриминант $D = 49 - 24 = 25 .$
Корни: $t_{1} = 2,$ $t_{2} = \frac{1}{3} .$

Проверим корни. Так как $u = t - 1,$ а время $u$ должно быть положительным, корень $t = \frac{1}{3}$ даёт $u = - \frac{2}{3},$ что не имеет физического смысла. Следовательно, подходит только $t = 2 .$

Ответ: За $2$ часа.

Пример 2. Переход к абсолютным массам (Сплавы)

Имеется два куска сплава меди с цинком. Если сплавить равные массы этих кусков, получится сплав, содержащий $30%$ меди. Если взять первого куска в два раза больше по массе, чем второго, получится сплав, содержащий $35%$ меди. Найдите процентное содержание меди в каждом из исходных кусков.

Показать решение

Пусть $c_{1}$ и $c_{2}$ — массовые доли меди в первом и втором кусках соответственно (числа от $0$ до $1$ ).

Случай 1: Берём равные массы, пусть по $m$ кг каждого.
Масса чистой меди в первом куске: $m \cdot c_{1} .$ Во втором: $m \cdot c_{2} .$
Масса нового сплава: $2 m .$ Медь в нём: $0, 3 \cdot 2 m .$
Уравнение баланса меди:

m \cdot c_{1} + m \cdot c_{2} = 0, 6 m ⟹ c_{1} + c_{2} = 0, 6

Случай 2: Первого берём $2 m$ кг, второго $m$ кг.
Масса чистой меди: $2 m \cdot c_{1} + m \cdot c_{2} .$
Общая масса: $3 m .$ Медь в нём: $0, 35 \cdot 3 m = 1, 05 m .$

2 m \cdot c_{1} + m \cdot c_{2} = 1, 05 m ⟹ 2 c_{1} + c_{2} = 1, 05

Решаем систему линейных уравнений:

{c_{1} + c_{2} = 0, 6 2 c_{1} + c_{2} = 1, 05

Вычтем из второго уравнения первое:

c_{1} = 1, 05 - 0, 60 = 0, 45

Подставим в первое:

c_{2} = 0, 6 - 0, 45 = 0, 15

Массовые доли $0, 45$ и $0, 15$ соответствуют $45%$ и $15% .$

Ответ: $45%$ и $15% .$

Пример 3. Диофантово уравнение и оптимизация (Целые числа)

На складе нужно упаковать $530$ деталей в коробки двух типов. Малая коробка вмещает $20$ деталей, её отправка стоит $300$ рублей. Большая коробка вмещает $35$ деталей, её отправка стоит $500$ рублей. Детали нельзя дробить, коробки должны быть заполнены полностью. Как упаковать детали, чтобы стоимость отправки была минимальной?

Показать решение

Пусть $x$ — количество малых коробок, $y$ — количество больших коробок. Так как коробки — целые предметы, $x, y \in Z \geq 0 .$
Все коробки должны быть заполнены, значит, деталей ровно $530 :$

20 x + 35 y = 530

Разделим уравнение на $5 :$

4 x + 7 y = 106

Стоимость отправки, которую нужно минимизировать:

C = 300 x + 500 y = 100 (3 x + 5 y) \to min

Выразим $x$ из уравнения количества деталей:

4 x = 106 - 7 y ⟹ x = \frac{106 - 7 y}{4} = 26 - y + \frac{2 - 3 y}{4}

Чтобы $x$ было целым, дробь $\frac{2 - 3 y}{4}$ должна быть целым числом. Следовательно, $(2 - 3 y)$ должно делиться на $4 .$
Перебор по остаткам от деления $y$ на $4 :$

Если $y = 0,$ $2 - 0 = 2$ (не делится на $4$ ).
Если $y = 1,$ $2 - 3 = - 1$ (не делится).
Если $y = 2,$ $2 - 6 = - 4$ (делится на $4$ ).
Значит, $y$ должно давать остаток $2$ при делении на $4 .$ Возможные значения $y :$ $2, 6, 10, 14, 18 \dots$

Проверим ограничение $x ⩾ 0 :$
$106 - 7 y ⩾ 0 ⟹ y ⩽ \frac{106}{7} = 15 \frac{1}{7} .$
Следовательно, возможные значения $y \in {2; 6; 10; 14} .$

Вычислим $x$ и стоимость $C$ для каждого случая:
1) $y = 14 ⟹ 4 x = 106 - 98 = 8 ⟹ x = 2 .$
$C = 100 (3 \cdot 2 + 5 \cdot 14) = 100 (6 + 70) = 7600$ руб.
2) $y = 10 ⟹ 4 x = 106 - 70 = 36 ⟹ x = 9 .$
$C = 100 (3 \cdot 9 + 5 \cdot 10) = 100 (27 + 50) = 7700$ руб.
3) $y = 6 ⟹ 4 x = 106 - 42 = 64 ⟹ x = 16 .$
$C = 100 (3 \cdot 16 + 5 \cdot 6) = 100 (48 + 30) = 7800$ руб.
4) $y = 2 ⟹ 4 x = 106 - 14 = 92 ⟹ x = 23 .$
$C = 100 (3 \cdot 23 + 5 \cdot 2) = 100 (69 + 10) = 7900$ руб.

Альтернативная логика: Стоимость одного места в малой коробке равна $\frac{300}{20} = 15$ руб., а в большой — $\frac{500}{35} = 14, 28$ руб. Большие коробки выгоднее. Значит, для минимизации затрат нужно взять максимально возможное число больших коробок ( $y = 14$ ), при котором малые заполняются без остатка ( $x = 2$ ).

Минимальная стоимость достигается при $x = 2$ и $y = 14 .$

Ответ: $2$ малые коробки и $14$ больших.

Частые ошибки

Потеря ограничений на целочисленность

Ошибка: получить в задаче про станки или людей ответ $4, 5$ и округлить его до $5 .$
Правильно: если решается уравнение в целых числах или неравенство (через метод интервалов), то нецелый корень означает, что на данном интервале решений нет. Округлять нельзя — нужно строго доказывать, какое натуральное число удовлетворяет всем условиям.

Попытка найти все переменные

Ошибка: застрять на системе из $2$ уравнений с $3$ неизвестными, решив, что задача некорректна.
Правильно: проверь, что именно нужно найти. Если вопрос стоит как «во сколько раз скорость автомобиля больше скорости велосипедиста», тебе нужно найти отношение $\frac{v _{a}}{v _{c}} .$ В процессе алгебраических преобразований лишняя переменная (например, расстояние $S$ ) просто сократится.

Что запомнить

Если не заданы абсолютные значения работы или расстояния, смело приравнивай их к $1$ или к $S$ (оно сократится).
В смесях всегда отслеживай баланс чистого вещества.
Задачи, в которых упоминаются штуки, люди, ящики или рейсы — это задачи на делимость и оценку. Выражай одну переменную через другую и используй условие $x \in N .$

Стратегия на ДВИ

На экзамене

Текстовая задача на ДВИ — это проверка логики формализации. Если система составлена верно, её решение обычно требует базовой алгебры (подстановка, теорема Виета).
Обязательно вводи переменные с пояснениями: «Пусть $v_{1}$ — скорость первого, $t$ — время до встречи». Проверяющие снижают баллы за системы, взятые «из воздуха».
Внимательно следи за единицами измерения. Если в задаче есть «км/ч» и «минуты», переводи всё в часы ( $20 мин = \frac{1}{3} ч$ ). Разница размерностей — самая обидная причина неверного ответа.