Текстовые задачи

Суть текстовых задач на ДВИ

Текстовые задачи на ДВИ МГУ (обычно это номера 2, 5 или 6) концептуально отличаются от школьных. Главная сложность — избыток неизвестных. Часто в задаче невозможно найти каждую переменную в отдельности, но этого и не требуется. Цель — составить систему математических соотношений (уравнений) на основе здравого смысла и найти конкретную комбинацию переменных (например, $\frac{S}{v_1+v_2}$ или $x\cdot y$).

На ДВИ встречаются основные типы сюжетов: движение (встречное, вдогонку, по реке, по кругу), совместная работа, смеси/сплавы, проценты/банковский процент и задачи на целочисленную оптимизацию.

Основные формулы и подходы

1. Движение и работа

Математически движение и работа — это одно и то же. Расстояние $S$ аналогично объёму работы $A\text{,}$ скорость $v$ аналогична производительности $p\text{.}$

Виды движения и соответствующие скорости (см. справочник, §«Текстовые задачи. Движение»):

• Навстречу: тела сближаются со скоростью $v_1+v_2\text{;}$ время до встречи $t=\frac{S}{v_1+v_2}\text{.}$
• Вдогонку: догоняющий приближается со скоростью $v_1-v_2$ (при $v_1>v_2$); время на ликвидацию отрыва $d$ равно $\frac{d}{v_1-v_2}\text{.}$
• По реке: по течению скорость $v_{\text{соб}}+v_{\text{теч}}\text{,}$ против течения $v_{\text{соб}}-v_{\text{теч}}\text{.}$ Плот (тело без собственной скорости) плывёт со скоростью течения $v_{\text{теч}}\text{.}$
• По кругу (вдогонку): между двумя последовательными совпадениями более быстрый «накручивает» на один полный круг больше, поэтому $(v_1-v_2)t=L\text{,}$ где $L$ — длина круга.

Совместная работа. Если несколько источников работают одновременно, складываются их производительности (а не времена!):

Для бассейна с трубой притока (производительность $+p_{\text{пр}}$) и трубой стока ($-p_{\text{ст}}$) производительности берутся со знаком: $p_{\text{общ}}=p_{\text{пр}}-p_{\text{ст}}\text{.}$ Если сток мощнее притока, бассейн опорожняется (общая производительность отрицательна).

2. Смеси и сплавы

Главное правило ДВИ для смесей: избегай процентов. Проценты путают и усложняют уравнения. Переходи к долям или к абсолютным массам «чистого вещества».

При сливании растворов складываются массы самих растворов и массы чистого вещества в них:
$m_{\text{чист. 1}}+m_{\text{чист. 2}}=m_{\text{чист. итог}}\text{,}$ то есть $C_1{m}_1+C_2{m}_2=C(m_1+m_2)\text{.}$

Многошаговое переливание (доливание). Из сосуда объёма $V$ отлили $a$ литров раствора и долили $a$ литров воды; так повторили $n$ раз. Тогда после каждого шага доля чистого вещества умножается на $\left(1-\frac{a}{V}\right)\text{,}$ и после $n$ шагов:

(Каждое переливание уносит ту же долю имеющегося вещества — отсюда степенная формула остатка, та же структура, что и у сложного процента.)

3. Проценты и сложный процент

Целый класс текстовых задач ДВИ (эконом, ВМК) — про вклады, кредиты и изменение величин в процентах. Без листа формул их надо держать в голове (см. справочник, §«Проценты и сложный процент»).

4. Оптимальный выбор и целые числа

Это специфический класс задач МГУ. Если речь идёт о людях, ящиках, станках или рейсах грузовика, переменные обязаны принадлежать множеству целых неотрицательных (часто натуральных) чисел. Это условие позволяет решать системы, где уравнений меньше, чем неизвестных (диофантовы уравнения).

Метод «оценка + пример». Строгое решение целочисленной задачи на минимум/максимум обычно состоит из двух частей:
1. Оценка — доказать неравенством, что искомая величина не может быть лучше некоторого значения $M$ (например, $C⩾M$).
2. Пример — предъявить конкретный набор переменных, на котором значение $M$ достигается.

Только оба пункта вместе дают полный балл. Часто оценка получается из монотонности: если целевую функцию удалось выразить как монотонную по одной переменной, минимум/максимум достигается на границе допустимого диапазона этой переменной (и его надо предъявить).

Алгоритм решения текстовой задачи

Примеры решения задач

Частые ошибки

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важен не только итоговый ответ, но и зафиксированные на бумаге шаги. Частичный балл («±») реально добирается даже без доведённого до числа ответа.

Формулы наизусть (листа формул на ДВИ нет)

Минимальный набор, который надо помнить по этой теме (вывод — выше / в справочнике §«Текстовые задачи»):

• Базовые модели: $S=vt\text{,}$ $A=pt\text{,}$ $m_{\text{чист}}=C{m}_{\text{смеси}}\text{.}$
• Скорости движения: навстречу $v_1+v_2\text{;}$ вдогонку $v_1-v_2\text{;}$ по/против течения $v_{\text{соб}}\pm v_{\text{теч}}\text{;}$ по кругу $(v_1-v_2)t=L\text{.}$
• Средняя скорость (равные участки): $v_{\text{ср}}=\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}$ (гармоническое среднее, $<$ среднего арифметического).
• Совместная работа: $\frac{1}{t}=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}\text{;}$ приток/сток — со знаком.
• Баланс смеси: $C_1{m}_1+C_2{m}_2=C(m_1+m_2)\text{.}$
• Многошаговое переливание: $C_n=C_0{\left(1-\frac{a}{V}\right)}^n\text{.}$
• Сложный процент: $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n\text{;}$ «+$p\%$» $=\times \left(1+\frac{p}{100}\right)\text{.}$

Что запомнить

• Если не заданы абсолютные значения работы или расстояния, смело приравнивай их к $1$ или к $S$ (оно сократится).
• Не пытайся найти все переменные — ищи нужную комбинацию (отношение, произведение, $\frac{S}{v_1+v_2}$); лишний масштаб уйдёт сам (Пример 2).
• В смесях всегда отслеживай баланс чистого вещества; повторные переливания — степенная формула остатка.
• Проценты: «на $p\%$» $\ne$ «в $k$ раз»; вклады/кредиты — сложный процент $S_0(1+\frac{p}{100}{)}^n\text{.}$
• Средняя скорость = весь путь / всё время (гармоническое среднее для равных участков), никогда не среднее арифметическое.
• Задачи про штуки, людей, ящики, рейсы — это делимость и оценка: выражай одну переменную через другую, используй целочисленность и метод «оценка + пример».

Стратегия на ДВИ