Системы уравнений — ДВИ

Суть темы

Системы уравнений на ДВИ редко решаются прямолинейным выражением одной переменной через другую (как это часто работает в школьной программе). Экзаменаторы специально составляют уравнения так, чтобы прямая подстановка приводила к многочленам высоких степеней, корни которых невозможно угадать.

Решение систем на ДВИ — это поиск «ключа»: удачной группировки, симметрии, формул сокращённого умножения или рассмотрения одного из уравнений как квадратного относительно одной переменной. Ключевая задача — упростить систему до состояния, где возможна безопасная подстановка или разложение на простейшие множители.

Спектр систем на ДВИ шире школьного: помимо алгебраических, регулярно встречаются показательные и логарифмические (замена, ОДЗ, монотонность), тригонометрические (новые переменные $x + y,$ $x - y$ ), иррациональные с двумя радикалами, а также системы с параметром и задачи, где единственный путь — метод оценок (когда левая часть не меньше правой, а равенство достижимо лишь в одной точке).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Лист формул на ДВИ не выдаётся

В отличие от ЕГЭ, на письменном ДВИ МГУ никаких справочных материалов нет. Все формулы, которыми мы пользуемся ниже, нужно знать наизусть или уметь быстро вывести прямо в работе:

суммы и разности кубов $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2});$
квадрат суммы трёх слагаемых $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a;$
теорема Виета: если $t^{2} - u t + v = 0,$ то $t_{1} + t_{2} = u,$ $t_{1} t_{2} = v$ (это прямое следствие разложения $t^{2} - u t + v = (t - t_{1}) (t - t_{2})$ );
формулы суммы/произведения тригонометрических функций, свойства логарифмов и степеней — см. справочник, разделы 1–3.

Полезная привычка: если в чистовике используешь нетривиальную формулу — в одну строку покажи её вывод. Это и страховка от провала памяти, и плюс по рубрике за обоснованность.

Основные методы решения

1. Симметрические системы

Если замена $x$ на $y$ и $y$ на $x$ не меняет ни одно из уравнений системы, система называется симметрической. Для её решения вводится стандартная пара новых переменных.

ВАЖНОЕ

Замена в симметрических системах

u = x + y, v = x \cdot y

Ключевые тождества для выражения других комбинаций:

x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = u^{2} - 2 v

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = u (u^{2} - 3 v)

Найдя $u$ и $v,$ значения $x$ и $y$ можно найти как корни квадратного уравнения $t^{2} - u t + v = 0$ (по теореме Виета).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Условие существования действительных x, y

Числа $x$ и $y$ — корни уравнения $t^{2} - u t + v = 0 .$ Они действительны тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен:

u^{2} - 4 v ⩾ 0.

Если же $u^{2} - 4 v < 0,$ то такой паре $(u; v)$ не соответствует ни одной действительной пары $(x; y)$ — этот случай надо отбросить. На ДВИ ищут именно действительные решения, поэтому проверку $u^{2} - 4 v ⩾ 0$ нужно выписывать явно: пропуск этого шага = частичный балл «±».

2. Решение уравнения как квадратного относительно одной переменной

Если одно из уравнений содержит две переменные, но является многочленом второй степени (например, вида $a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + ey + f = 0$ ), его можно решить как обычное квадратное уравнение относительно $x,$ считая $y$ параметром (или наоборот).

ВАЖНОЕ

Разложение через корни квадратного уравнения

Если $A x^{2} + B x + C = 0$ имеет корни $x_{1} (y)$ и $x_{2} (y),$ то левая часть раскладывается на множители:

A x^{2} + B x + C = A (x - x_{1} (y)) (x - x_{2} (y))

3. Однородные уравнения

Уравнение вида $a x^{2} + b x y + c y^{2} = 0$ называется однородным уравнением второй степени (все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень). Схема решения требует аккуратной развилки по $y .$

АЛГОРИТМ

Как решать однородное уравнение в системе

1. Сначала разбери случай $y = 0 .$ Подставь $y = 0$ в систему. Получишь либо конкретное решение, либо противоречие. Этот шаг нельзя пропускать: деление на $y^{2}$ его теряет.
2. При $y \neq = 0$ дели на $y^{2} .$ Получаешь квадратное уравнение относительно $t = \frac{x}{y} :$

a (\frac{x}{y})^{2} + b (\frac{x}{y}) + c = 0 ⟺ a t^{2} + b t + c = 0.

3. Найдя корни $t_{1}, t_{2}$ , получаешь линейные связи $x = t_{1} y$ и $x = t_{2} y,$ которые легко подставить в другие уравнения системы.

4. Алгебраическое сложение и выделение полных квадратов

Часто комбинация уравнений (сложение, вычитание, умножение одного на число и прибавление к другому) создаёт в левой части полный квадрат $(x \pm y)^{2}$ или формулу разности квадратов.

5. Показательные и логарифмические системы

Здесь работают три приёма: замена ( $t = a^{x}$ при $t > 0$ или $t = lo g_{a} x$ ), приведение к одной базе и монотонность. Особенность — обязательное ОДЗ: аргументы логарифмов строго положительны, основания положительны и не равны 1. ОДЗ выписывается до преобразований.

ВАЖНОЕ

Опорные равносильности

a^{g} = a^{h} ⟺ g = h (a > 0, a \neq = 1);

lo g_{a} f = lo g_{a} g ⟺ {f = g f > 0 (a > 0, a \neq = 1) .

Замена $t = a^{x}$ ( $t > 0!$ ) или $t = lo g_{a} x$ сводит уравнение к квадратному. Подробнее — справочник, раздел 2.

6. Тригонометрические системы

Главный приём для систем, содержащих $x$ и $y$ симметрично или через сумму/разность углов, — новые переменные $s = x + y$ и $d = x - y .$ К ним применяют формулы суммы/произведения:

sin x + sin y = 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2}, cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2},

sin x sin y = \frac{1}{2} (cos (x - y) - cos (x + y)) .

Если одно из уравнений уже даёт $x + y,$ второе удобно свернуть через произведение/сумму. Ответ записывают сериями с целым параметром $n \in Z .$

7. Иррациональные системы с двумя радикалами

Если в системе два корня $A$ и $B,$ эффективна замена $u = A ⩾ 0,$ $v = B ⩾ 0$ — часто она превращает систему в симметрическую относительно $u, v .$ Ритуал:
1. выписать ОДЗ ( $A ⩾ 0,$ $B ⩾ 0$ ) до возведения в квадрат;
2. помнить ограничения $u ⩾ 0,$ $v ⩾ 0$ (отрицательные значения замены отбрасываются);
3. после возврата к $x, y$ — обязательная финальная проверка подстановкой в исходную систему (возведение в квадрат может породить посторонние корни).

8. Метод оценок (ограниченность)

Идейный родственник трюка с дискриминантом: иногда левая часть уравнения не меньше некоторого числа, а правая — не больше того же числа, и равенство достижимо только в одной точке. Тогда система «зажимает» переменные. Опорные оценки (см. справочник, раздел 4):

a^{2} ⩾ 0, x + \frac{1}{x} ⩾ 2 (x > 0), \frac{a + b}{2} ⩾ ab (a, b ⩾ 0) (AM-GM),

причём равенство в AM–GM достигается только при равенстве всех слагаемых. «Сумма неотрицательных равна нулю» $⟺$ каждое слагаемое равно нулю.

9. Системы с параметром

Задача — найти значения параметра, при которых система имеет заданное число решений. Здесь особенно полезна графическая интерпретация: одно уравнение задаёт неподвижную кривую, другое — семейство кривых, зависящих от параметра. Граничные значения параметра отвечают касанию или прохождению через узловые точки. Симметрии ( $x \leftrightarrow y,$ $x \to - x$ ) сужают перебор.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подходить к нестандартной системе

1. Тип и ОДЗ. Что за система — алгебраическая, показательная/логарифмическая, тригонометрическая, иррациональная? Если есть корни, логарифмы, дроби — сразу выпиши ОДЗ.
2. Анализ структуры. Симметрична ли система? Есть ли однородные уравнения (где все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень)?
3. Поиск факторизации. Можно ли перенести всё в левую часть в одном из уравнений и вынести общий множитель? Уравнение $A \cdot B = 0$ разбивает систему на две более простые.
4. Линейные комбинации. Попробуй сложить уравнения, вычесть их или умножить на коэффициенты так, чтобы свернулась формула сокращённого умножения.
5. Замена. Симметрия $\Rightarrow u = x + y, v = x y;$ показательная $\Rightarrow t = a^{x};$ иррациональная $\Rightarrow u = A, v = B;$ тригонометрия $\Rightarrow s = x + y, d = x - y .$
6. Метод квадратного уравнения / оценок. Собери выражение второй степени как квадратное относительно $x$ и посчитай дискриминант. Если $D$ извлекается или оценивается ( $D ⩽ 0$ при поиске действительных корней) — это ключ. Если части уравнения «зажаты» оценками — применяй метод ограниченности.
7. Проверка и отбор. Действительность ( $u^{2} - 4 v ⩾ 0$ ), ОДЗ, посторонние корни после возведения в квадрат — обязательный финальный шаг по рубрике.

Примеры

ПРИМЕР 1

Симметрическая система

Условие. Реши систему уравнений:

{x^{2} + y^{2} + x + y = 18 x y = 6

Систему из примера 1 удобно увидеть геометрически: первое уравнение — это семейство линий уровня, второе $x y = 6$ — гипербола. Решения системы — точки пересечения двух кривых; их количество служит контролем ответа.

Геометрический смысл системы: пересечение гиперболы xy=6 и кривой первого уравнения

y = k/x — при k=6 это вторая кривая системы; сравните с ответами примера

ПРИМЕР 2

Оценка дискриминанта и иррациональное уравнение

Условие. Найди все тройки $(x, y, z),$ удовлетворяющие системе:

{x^{2} - 4 x y + 5 y^{2} + 2 x - 8 y + 5 = 0 z - x + y = 3

ПРИМЕР 3

Комбинация уравнений и разность квадратов

Условие. Реши систему уравнений:

⎩ ⎨ ⎧ (x + y)^{2} - z^{2} = 12 (y + z)^{2} - x^{2} = - 4 (z + x)^{2} - y^{2} = 8

ПРИМЕР 4

Однородное уравнение (разбор случая y = 0)

Условие. Реши систему уравнений:

{x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} = 0 x y = 6

ПРИМЕР 5

Симметрическая система с кубами

Условие. Реши систему уравнений:

{x + y = 3 x^{3} + y^{3} = 9

ПРИМЕР 6

Показательная система (замена)

Условие. Реши систему уравнений:

{2^{x} + 2^{y} = 6 x + y = 3

ПРИМЕР 7

Логарифмическая система (ОДЗ)

Условие. Реши систему уравнений:

{l g x + l g y = l g 6 x + y = 5

( $l g$ — десятичный логарифм.)

ПРИМЕР 8

Тригонометрическая система

Условие. Реши систему уравнений:

⎩ ⎨ ⎧ x + y = \frac{π}{2} sin x \cdot sin y = \frac{1}{4}

ПРИМЕР 9

Иррациональная система с двумя радикалами

Условие. Реши систему уравнений:

{x + y = 5 x + y = 13

ПРИМЕР 10

Метод оценок (ограниченность)

Условие. Реши систему уравнений в действительных числах:

{x + y = 2 x^{4} + y^{4} = 2

ПРИМЕР 11

Система с параметром (графический контроль)

Условие. При каких значениях параметра $a$ система имеет ровно одно решение?

{x^{2} + y^{2} = 4 y = x + a

Наглядно ситуацию из примера 11 проще всего держать в голове как «движущуюся прямую и неподвижную окружность»: при росте $∣ a ∣$ прямая удаляется от центра, и в двух граничных положениях касается окружности.

Система с параметром: неподвижная окружность и семейство параллельных прямых y=x+a

Упрощённая аналогия: прямая y=c и окружность — двигайте c и найдите граничные (касательные) положения

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на выражение с переменной

Ошибка: Увидеть в системе уравнение $(x - y) (x + y) = x - y$ и сократить обе части на $(x - y),$ оставив только $x + y = 1 .$
Правильно: При делении теряется случай, когда делитель равен нулю. Перенеси всё в одну сторону и вынеси множитель за скобки: $(x - y) (x + y - 1) = 0 .$ Уравнение равносильно совокупности $x = y$ или $x + y = 1 .$ Каждый случай нужно разобрать отдельно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря случая y = 0 в однородном уравнении

Ошибка: В однородном уравнении $a x^{2} + b x y + c y^{2} = 0$ сразу делить на $y^{2}$ и переходить к $t = \frac{x}{y},$ не проверив $y = 0 .$
Правильно: Сначала подставь $y = 0$ в систему (получишь либо решение, либо противоречие — как в Примере 4, где вышло $0 = 6$ ), и только потом при $y \neq = 0$ дели на $y^{2} .$ Деление без проверки = потерянный случай и снятый балл.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Замена u, v без проверки действительности

Ошибка: Найдя в симметрической системе значения $u = x + y$ и $v = x y,$ сразу записывать пары $x, y,$ не проверив $u^{2} - 4 v ⩾ 0 .$
Правильно: Числа $x, y$ — корни $t^{2} - u t + v = 0,$ и они действительны только при $u^{2} - 4 v ⩾ 0 .$ Если условие нарушено, такую пару $(u; v)$ надо отбросить (действительных $x, y$ нет). Проверку выписывай явно (см. Примеры 1 и 5).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Нет проверки после возведения в квадрат

Ошибка: В иррациональной системе возвести уравнения в квадрат, найти $x, y$ и записать их в ответ без проверки.
Правильно: Возведение в квадрат — неравносильный переход, он может добавить посторонние корни. Финальная подстановка найденных пар в исходную систему — обязательный оцениваемый шаг (см. Пример 9). Заодно держи ОДЗ ( $\cdot ⩾ 0,$ подкоренное $⩾ 0$ ), выписанное в начале.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильная запись ответа для переменных

Ошибка: Получить из системы независимые решения $x = \pm 1$ и $y = \pm 2$ и записать в ответ « $x = \pm 1, y = \pm 2$ ». Такая запись означает любую комбинацию, то есть 4 пары чисел. Но подстановка в исходную систему может показать, что подходят, например, только пары с одинаковыми знаками.
Правильно: Всегда записывай ответ в виде конкретных упорядоченных пар $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2}) .$ Это исключает путаницу в том, какой $y$ соответствует какому $x .$

Что запомнить

Если уравнение содержит степени выше первой, не спеши выражать из него переменную. Ищи разложение на множители.
В симметрических системах замена $u = x + y$ и $v = x y$ понижает степени и сводит задачу к теореме Виета. Не забывай условие действительности $u^{2} - 4 v ⩾ 0 .$
Если перед тобой уравнение с двумя переменными, где есть квадраты обеих — попробуй решить его как квадратное относительно одной из них. Оценка дискриминанта часто является единственным путём к ответу.
В показательных/логарифмических системах работают замена ( $t = a^{x} > 0,$ $t = lo g_{a} x$ ), единая база и монотонность; ОДЗ логарифма — строго до преобразований.
В тригонометрических системах переходи к новым переменным $x + y,$ $x - y$ и применяй формулы суммы/произведения; ответ записывай сериями с $n \in Z .$
Если части уравнения «зажаты» оценками (AM–GM, сумма квадратов, $a^{2} ⩾ 0$ ), равенство достижимо лишь в одной точке — это метод ограниченности.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике: за каждый завершённый и обоснованный логический блок ставится плюс, за пропуск или необоснованный переход — «±» (частичный балл) или минус. Типичная формулировка задания — «найдите все решения системы»: неполный перебор случаев = частичный балл.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения системы

1. Тип и ОДЗ. Назови тип системы. Если есть корни/логарифмы/дроби — выпиши ОДЗ до преобразований (это отдельный оцениваемый шаг).
2. Обоснование метода. Кратко поясни выбор: «система симметрична, вводим $u = x + y,$ $v = x y$ » или «рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $x$ ». Нетривиальную формулу (кубы, квадрат суммы трёх, Виета) — выведи в одну строку, ведь лист формул не выдаётся.
3. Преобразования с контролем равносильности. При неравносильных переходах (возведение в квадрат, деление на выражение с переменной) либо сохраняй равносильность через совокупность, либо помечай переход как следствие и обязательно проверяй потом.
4. Полный перебор случаев. Распадение на случаи (совокупность, развилка по знаку, $u^{2} - 4 v ⩾ 0,$ случай $y = 0$ ) разбери до конца, каждый. Пропущенный случай рубрика видит сразу.
5. Проверка и отбор. Действительность ( $u^{2} - 4 v ⩾ 0$ ), ОДЗ, посторонние корни после возведения в квадрат. Это финальный оцениваемый шаг.
6. Ответ упорядоченными парами/тройками. $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2}), \dots;$ тригонометрические — сериями с $n \in Z .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±»

ОДЗ проверено постфактум или не выписано вовсе — обоснование задним числом ослабляет строгость.
Деление на выражение с переменной без разбора случая «делитель $= 0$ ».
Замена $u, v$ без проверки $u^{2} - 4 v ⩾ 0$ (возможны «лишние» комплексные пары).
В однородном уравнении не разобран случай $y = 0 .$
После возведения в квадрат нет финальной проверки на посторонние корни.
Разобрана только часть случаев совокупности — остальные «потеряны».
Использована формула без вывода там, где её знание под сомнением (лист формул не выдаётся).

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Смотри на систему целиком. Не бросайся сразу выражать $x$ из линейного уравнения, если подставлять придётся в четвёртую степень. Часто сложение или вычитание уравнений приводит к быстрому сокращению.
ОДЗ — в самом начале. Если в системе есть корни, логарифмы или дроби, выпиши условия на переменные до любых преобразований. Приём с возведением уравнений в квадрат или их перемножением может породить посторонние корни.
Держи равносильность переходов. Проверяющие строго следят за тем, чтобы преобразования не расширяли множество решений. Если применяешь неэквивалентный переход (например, делишь одно уравнение на другое), обязательно поясни, почему знаменатель не равен нулю, или проверь случай равенства нулю отдельно.
Формулы — наизусть или с выводом. Лист формул на ДВИ не выдают. Суммы/разности кубов, квадрат суммы трёх слагаемых, теорему Виета, формулы суммы/произведения тригонометрических функций держи в активной памяти; нетривиальную формулу в чистовике подкрепляй коротким выводом.

Проверь себя0 из 4

1.Система симметрична, введена замена

u = x + y,

v = x y .

Какое условие гарантирует существование действительных

x

y ?

2.Как выражается

x^{3} + y^{3}

через

u = x + y

v = x y ?

3.С чего начинается решение однородного уравнения

a x^{2} + b x y + c y^{2} = 0

в системе?

4.Первое уравнение системы имеет вид квадратного по

x,

и его дискриминант равен

D = - (y - 2)^{2} .

Что из этого следует для действительных решений?