Суть темы

Системы уравнений на ДВИ редко решаются прямолинейным выражением одной переменной через другую (как это часто работает в школьной программе). Экзаменаторы специально составляют уравнения так, чтобы прямая подстановка приводила к многочленам высоких степеней, корни которых невозможно угадать.

Решение систем на ДВИ — это поиск «ключа»: удачной группировки, симметрии, формул сокращённого умножения или рассмотрения одного из уравнений как квадратного относительно одной переменной. Ключевая задача — упростить систему до состояния, где возможна безопасная подстановка или разложение на простейшие множители.

Основные методы решения

1. Симметрические системы

Если замена $x$ на $y$ и $y$ на $x$ не меняет ни одно из уравнений системы, система называется симметрической. Для её решения вводится стандартная пара новых переменных.

Замена в симметрических системах

u = x + y, v = x \cdot y

Ключевые тождества для выражения других комбинаций:

x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = u^{2} - 2 v

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = u (u^{2} - 3 v)

Найдя $u$ и $v,$ значения $x$ и $y$ можно найти как корни квадратного уравнения $t^{2} - u t + v = 0$ (по теореме Виета).

2. Решение уравнения как квадратного относительно одной переменной

Если одно из уравнений содержит две переменные, но является многочленом второй степени (например, вида $a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + ey + f = 0$ ), его можно решить как обычное квадратное уравнение относительно $x,$ считая $y$ параметром (или наоборот).

Разложение через корни квадратного уравнения

Если $A x^{2} + B x + C = 0$ имеет корни $x_{1} (y)$ и $x_{2} (y),$ то левая часть раскладывается на множители:

A x^{2} + B x + C = A (x - x_{1} (y)) (x - x_{2} (y))

3. Однородные уравнения

Уравнение вида $a x^{2} + b x y + c y^{2} = 0$ называется однородным уравнением второй степени. Если известно, что $y \neq = 0$ (это нужно проверить отдельно), уравнение можно поделить на $y^{2}$ и получить квадратное уравнение относительно дроби $t = \frac{x}{y} :$

a (\frac{x}{y})^{2} + b (\frac{x}{y}) + c = 0

Найдя корни $t_{1}, t_{2},$ получаем линейные связи $x = t_{1} y$ и $x = t_{2} y,$ которые легко подставить в другие уравнения системы.

4. Алгебраическое сложение и выделение полных квадратов

Часто комбинация уравнений (сложение, вычитание, умножение одного на число и прибавление к другому) создаёт в левой части полный квадрат $(x \pm y)^{2}$ или формулу разности квадратов.

Алгоритм решения

Как подходить к нестандартной системе

1. Анализ структуры. Симметрична ли система? Есть ли однородные уравнения (где все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень)?
2. Поиск факторизации. Можно ли перенести всё в левую часть в одном из уравнений и вынести общий множитель? Уравнение $A \cdot B = 0$ разбивает систему на две более простые.
3. Линейные комбинации. Попробуй сложить уравнения, вычесть их или умножить на коэффициенты так, чтобы свернулась формула сокращённого умножения.
4. Метод квадратного уравнения. Если есть выражение второй степени, собери его как квадратное относительно $x$ и посчитай дискриминант. Если $D$ извлекается или оценивается — это ключ к решению.

Примеры

Пример 1. Симметрическая система

Условие. Реши систему уравнений:

{x^{2} + y^{2} + x + y = 18 x y = 6

Показать решение

Система симметрична относительно перестановки $x$ и $y .$ Введём замену $u = x + y,$ $v = x y .$
Выразим сумму квадратов: $x^{2} + y^{2} = u^{2} - 2 v .$
Перепишем систему в новых переменных:

{u^{2} - 2 v + u = 18 v = 6

Подставим $v = 6$ в первое уравнение:

u^{2} - 12 + u = 18 ⟺ u^{2} + u - 30 = 0

Корни этого квадратного уравнения: $u_{1} = - 6,$ $u_{2} = 5 .$
Получаем две простейшие системы для $x$ и $y :$

Случай 1: ${x + y = 5 x y = 6$
Числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^{2} - 5 t + 6 = 0 .$
Корни: $t_{1} = 2,$ $t_{2} = 3 .$
Пары решений: $(2; 3)$ и $(3; 2) .$

Случай 2: ${x + y = - 6 x y = 6$
Числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^{2} + 6 t + 6 = 0 .$
Дискриминант: $\frac{D}{4} = 9 - 6 = 3 .$
Корни: $t = - 3 \pm 3 .$
Пары решений: $(- 3 + 3; - 3 - 3)$ и $(- 3 - 3; - 3 + 3) .$

Ответ: $(2; 3),$ $(3; 2),$ $(- 3 + 3; - 3 - 3),$ $(- 3 - 3; - 3 + 3) .$

Пример 2. Оценка дискриминанта

Условие. Найди все тройки $(x, y, z),$ удовлетворяющие системе:

{x^{2} - 4 x y + 5 y^{2} + 2 x - 8 y + 5 = 0 z - x + y = 3

Показать решение

Рассмотрим первое уравнение как квадратное относительно $x .$ Сгруппируем слагаемые с $x^{2},$ $x$ и свободные члены (всё, что зависит только от $y$ ):

x^{2} + 2 x (1 - 2 y) + (5 y^{2} - 8 y + 5) = 0

Вычислим четверть дискриминанта:

\frac{D}{4} = (1 - 2 y)^{2} - (5 y^{2} - 8 y + 5)

\frac{D}{4} = 1 - 4 y + 4 y^{2} - 5 y^{2} + 8 y - 5 = - y^{2} + 4 y - 4 = - (y - 2)^{2}

Чтобы уравнение имело действительные корни $x,$ дискриминант должен быть неотрицательным: $D ⩾ 0 .$
Но $- (y - 2)^{2} ⩽ 0$ при любых $y .$ Следовательно, единственный возможный случай — это $- (y - 2)^{2} = 0,$ откуда $y = 2 .$
При $y = 2$ дискриминант равен нулю, и $x$ находится однозначно:

x = \frac{- 2 ( 1 - 2 y )}{2} = 2 y - 1 = 2 (2) - 1 = 3

Подставим найденные $x = 3$ и $y = 2$ во второе уравнение:

z - 3 + 2 = 3 ⟺ z - 3 = 1 ⟺ z - 3 = 1 ⟹ z = 4

Проверка показывает, что ОДЗ корня ( $z ⩾ x$ ) выполняется: $4 ⩾ 3 .$

Ответ: $(3; 2; 4) .$

Пример 3. Комбинация уравнений и разность квадратов

Условие. Реши систему уравнений:

⎩ ⎨ ⎧ (x + y)^{2} - z^{2} = 12 (y + z)^{2} - x^{2} = - 4 (z + x)^{2} - y^{2} = 8

Показать решение

Сложим все три уравнения:

(x + y)^{2} + (y + z)^{2} + (z + x)^{2} - (z^{2} + x^{2} + y^{2}) = 16

Раскроем квадраты:

(x^{2} + 2 x y + y^{2}) + (y^{2} + 2 y z + z^{2}) + (z^{2} + 2 z x + x^{2}) - x^{2} - y^{2} - z^{2} = 16

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 z x = 16

Заметим слева формулу квадрата суммы трёх слагаемых:

(x + y + z)^{2} = 16 ⟺ x + y + z = \pm 4

Разложим левые части исходной системы по формуле разности квадратов:

⎩ ⎨ ⎧ (x + y + z) (x + y - z) = 12 (x + y + z) (y + z - x) = - 4 (x + y + z) (z + x - y) = 8

Система распадается на два случая.
Случай 1: $x + y + z = 4 .$ Подставим это значение в систему:

⎩ ⎨ ⎧ 4 (x + y - z) = 12 4 (y + z - x) = - 4 4 (z + x - y) = 8 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x + y - z = 3 (1) - x + y + z = - 1 (2) x - y + z = 2 (3)

Сложим (1) и (2): $2 y = 2 ⟹ y = 1 .$
Сложим (2) и (3): $2 z = 1 ⟹ z = 0, 5 .$
Сложим (1) и (3): $2 x = 5 ⟹ x = 2, 5 .$
Случай 2: $x + y + z = - 4 .$

⎩ ⎨ ⎧ - 4 (x + y - z) = 12 - 4 (y + z - x) = - 4 - 4 (z + x - y) = 8 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x + y - z = - 3 - x + y + z = 1 x - y + z = - 2

Решая аналогично, получаем противоположные значения: $x = - 2, 5,$ $y = - 1,$ $z = - 0, 5 .$

Ответ: $(2, 5; 1; 0, 5),$ $(- 2, 5; - 1; - 0, 5) .$

Частые ошибки

Деление на выражение с переменной

Ошибка: Увидеть в системе уравнение $(x - y) (x + y) = x - y$ и сократить обе части на $(x - y),$ оставив только $x + y = 1 .$
Правильно: При делении теряется случай, когда делитель равен нулю. Перенеси всё в одну сторону и вынеси множитель за скобки: $(x - y) (x + y - 1) = 0 .$ Уравнение равносильно совокупности $x = y$ или $x + y = 1 .$ Каждый случай нужно разобрать отдельно.

Неправильная запись ответа для переменных

Ошибка: Получить из системы независимые решения $x = \pm 1$ и $y = \pm 2$ и записать в ответ « $x = \pm 1, y = \pm 2$ ». Такая запись означает любую комбинацию, то есть 4 пары чисел. Но подстановка в исходную систему может показать, что подходят, например, только пары с одинаковыми знаками.
Правильно: Всегда записывай ответ в виде конкретных упорядоченных пар $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2}) .$ Это исключает путаницу в том, какой $y$ соответствует какому $x .$

Что запомнить

Если уравнение содержит степени выше первой, не спеши выражать из него переменную. Ищи разложение на множители.
В симметрических системах замена $u = x + y$ и $v = x y$ понижает степени и сводит задачу к теореме Виета.
Если перед тобой уравнение с двумя переменными, где есть квадраты обеих — попробуй решить его как квадратное относительно одной из них. Оценка дискриминанта часто является единственным путём к ответу.

Стратегия на ДВИ

Экзаменационная тактика

Смотри на систему целиком. Не бросайся сразу выражать $x$ из линейного уравнения, если подставлять придётся в четвёртую степень. Часто сложение или вычитание уравнений приводит к быстрому сокращению.
ОДЗ — в самом начале. Если в системе есть корни, логарифмы или дроби, выпиши условия на переменные до любых преобразований. Приём с возведением уравнений в квадрат или их перемножением может породить посторонние корни.
Держи равносильность переходов. Проверяющие строго следят за тем, чтобы преобразования не расширяли множество решений. Если применяешь неэквивалентный переход (например, делишь одно уравнение на другое), обязательно поясни, почему знаменатель не равен нулю, или проверь случай равенства нулю отдельно.