Прогрессии — ДВИ

Суть и базовые понятия

На ДВИ задачи на прогрессии часто маскируются под текстовые задачи, уравнения или комбинации свойств чисел с алгеброй. Практически любая задача на эту тему сводится к составлению и решению системы уравнений относительно первого члена и шага (или знаменателя) прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d$ (разности прогрессии).

ВАЖНОЕ

Формулы арифметической прогрессии

Формула $n$ -го члена:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Сумма первых $n$ членов (две формы):

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

ВАЖНОЕ

Характеристическое свойство

Любой член арифметической прогрессии (кроме первого) равен полусумме равноудалённых от него членов:

a_{k} = \frac{a _{k - x} + a _{k + x}}{2}, в частности при x = 1 : a_{k} = \frac{a _{k - 1} + a _{k + 1}}{2}

Геометрическая прогрессия

Последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q \neq = 0$ (знаменатель прогрессии). Требование неравенства нулю необходимо, чтобы прогрессия задавалась однозначно.

ВАЖНОЕ

Формулы геометрической прогрессии

Формула $n$ -го члена:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Сумма первых $n$ членов (при $q \neq = 1$ ):

S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

ВАЖНОЕ

Характеристическое свойство

Квадрат любого члена геометрической прогрессии равен произведению равноудалённых от него членов:

b_{k}^{2} = b_{k - x} \cdot b_{k + x}, в частности при x = 1 : b_{k}^{2} = b_{k - 1} \cdot b_{k + 1}

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Свойство

b_{k}^{2} = \dots

возвращает квадрат, а не сам член

Характеристическое свойство ГП даёт именно квадрат члена. При восстановлении самого члена ( $b_{2},$ $b_{3}$ и т.д.) корень имеет два знака:

b_{k} = \pm b_{k - 1} \cdot b_{k + 1} .

Какой знак выбрать (или оба) — решается отдельно по условию задачи (положительность, возрастание, знак $q$ ). Подробнее об этой ловушке — в разделе «Частые ошибки».

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если знаменатель удовлетворяет условию $∣ q ∣ < 1,$ то с ростом $n$ члены $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ стремятся к нулю, а частичные суммы $S_{n}$ стремятся к конечному пределу. Этот предел называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

ВАЖНОЕ

Сумма бесконечно убывающей ГП

При $∣ q ∣ < 1 :$

S = \frac{b _{1}}{1 - q} .

Формула получается предельным переходом в $S_{n} = b_{1} \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} :$ при $∣ q ∣ < 1$ слагаемое $q^{n} \to 0 .$

Эта формула — одна из стандартных тем письменного ДВИ. Чаще всего её применяют:

для подсчёта суммы бесконечного ряда геометрического вида;
для перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную (период образует бесконечно убывающую ГП);
внутри текстовых задач, где процесс повторяется неограниченно (отскоки мяча, бесконечные вложения и т.п.).

Наглядная иллюстрация суммы бесконечно убывающей ГП на отрез

Универсальный алгоритм решения

В задачах ДВИ редко просят просто подставить числа в формулу. Обычно требуется найти неизвестные параметры через решение нелинейных систем.

АЛГОРИТМ

Как решать алгебраические задачи на прогрессии

1. Переведи всё на язык $a_{1}$ и $d$ (или $b_{1}$ и $q$ ). Распиши все заданные члены по формуле $n$ -го члена.
2. Составь систему уравнений. Используй условия задачи (суммы, произведения, равенства).
3. Реши систему.

Для арифметической прогрессии чаще всего помогает метод подстановки или сложения/вычитания уравнений (они обычно линейные относительно $a_{1}$ и $d,$ если нет произведений).
Для геометрической прогрессии выноси общие множители за скобки и дели одно уравнение на другое. Так как $b_{1} \neq = 0$ и $q \neq = 0,$ это действие безопасно (но всегда проверяй скобки вида $q \pm 1$ ).
4. Используй характеристическое свойство, если в задаче фигурируют три и более идущих подряд члена. Это позволяет обойтись без $a_{1}$ и сразу составить уравнение на соседние члены.
5. Отбери корни письменно. Найдя все корни системы, явно проверь каждый по условиям задачи (возрастание, положительность, знак $q,$ целочисленность) и в тексте обоснуй, почему лишние отбрасываешь. На ДВИ необоснованный отбор — потеря балла.

Примеры решения задач

Разберём задачи, где простое применение формул сочетается с алгебраической строгостью и теорией чисел.

ПРИМЕР 1

Системы в арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии сумма первых пяти членов равна $45,$ а сумма следующих пяти членов равна $120 .$ Найдите сумму первых $15$ членов этой прогрессии.

ПРИМЕР 2

Отношения в геометрической прогрессии

Возрастающая геометрическая прогрессия состоит из положительных чисел. Сумма первого и третьего членов равна второму, умноженному на $\frac{10}{3} .$ Найдите отношение суммы с 7-го по 12-й член включительно к сумме первых шести членов.

ПРИМЕР 3

Деление уравнений системы — главный метод для ГП

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Их сумма равна $21,$ а сумма их квадратов равна $189 .$ Найдите эти числа.

✓СОВЕТ

Почему деление здесь безопасно

Делим второе уравнение на первое. Делитель — это $b_{1} (1 + q + q^{2}) = 21 \neq = 0$ (равен сумме чисел, она задана и не нулевая), поэтому деление корректно и корни не теряются. Если бы делитель мог обращаться в ноль, пришлось бы отдельно разобрать этот случай.

ПРИМЕР 4

Бесконечно убывающая ГП

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $6 + 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \dots,$ а затем переведите периодическую дробь $0, (36)$ в обыкновенную как сумму бесконечно убывающей ГП.

ПРИМЕР 5

Смешанный тип: арифметическая ↔ геометрическая

Три числа образуют арифметическую прогрессию, причём её средний член равен $6 .$ Если к третьему числу прибавить $8,$ оставив первые два без изменения, то полученные три числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

✓СОВЕТ

Зачем здесь обозначать члены через средний

Запись «средний $\pm d$ » сразу обнуляет линейную часть и оставляет одно уравнение на $d .$ Это стандартный приём для тройки чисел в АП: всегда симметризуй относительно среднего члена.

ПРИМЕР 6

Текстовая задача: вклад как геометрическая прогрессия

В начале каждого года вкладчик кладёт на счёт $1000$ рублей. Банк в конце каждого года начисляет $10%$ на всю сумму, лежащую на счёте. Какая сумма будет на счёте сразу после третьего начисления процентов?

✓СОВЕТ

Сложные проценты — это всегда ГП

Если величина каждый период умножается на один и тот же коэффициент $(1 + p /100),$ перед тобой геометрическая прогрессия. Регулярные взносы складываются в сумму ГП — это и есть «маскировка» текстовой задачи под прогрессию.

ПРИМЕР 7

Распад на случаи

q = 1

q \neq = 1

Дана геометрическая прогрессия с первым членом $b_{1} = 5$ и знаменателем $q = x - 2,$ где $x$ — параметр. Известно, что сумма первых трёх членов равна $15 .$ Найдите все значения $x .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Что было бы при потере случая

Если бы мы сразу применили формулу с дробью и не проверили $q = 1$ отдельно, мы бы получили $q^{2} + q - 2 = 0$ и потеряли решение $x = 3$ — а это половина ответа. На ДВИ за неполный разбор случаев снимают балл.

В ДВИ очень популярны задачи, где алгебра прогрессий пересекается со свойствами целых чисел (делимость, оценки). Здесь требуется максимальная строгость рассуждений.

ПРИМЕР 8

Прогрессии и теория чисел

Натуральные числа $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n,$ если известно, что $n > 1,$ $n$ нечётно, а сумма членов этой прогрессии равна $425 .$

✓СОВЕТ

Суммы натуральных, чётных, нечётных — частные случаи АП

Эти три суммы — арифметические прогрессии с $a_{1} = d$ или $a_{1} = 1;$ их полезно знать наизусть для комбинированных задач теории чисел:

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}, 1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2},

2 + 4 + 6 + \dots + 2 n = n (n + 1) .

Например, сумма первых $n$ нечётных чисел всегда точный квадрат — это часто становится ключом в задачах на делимость и оценки (как в Примере 8).

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Количество членов в сумме

Ошибка: при сворачивании выражения $1 + q + q^{2} + \dots + q^{k}$ использовать формулу суммы для $k$ членов: $\frac{q ^{k} - 1}{q - 1} .$
Правильно: в этой сумме $k + 1$ членов (первый член равен $1 = q^{0},$ последний $q^{k}$ ). Правильная формула: $\frac{q ^{k + 1} - 1}{q - 1} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на ноль в формуле суммы

Ошибка: применять формулу $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ для геометрической прогрессии, где знаменатель $q$ является неизвестной переменной, не проверив случай $q = 1 .$
Правильно: если $q$ содержит переменную (например, $q = x^{2} - 3 x + 3$ ), обязательно рассматривай два случая: $q = 1$ (тогда сумма равна $n \cdot b_{1}$ ) и $q \neq = 1$ (применяй дробь). Разобранный пример — Пример 7.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака корня при характеристическом свойстве ГП

Ошибка: из $b_{2}^{2} = b_{1} \cdot b_{3}$ сразу писать $b_{2} = b_{1} b_{3},$ беря только положительный корень.
Правильно: $b_{2} = \pm b_{1} b_{3}$ — корня два. Например, если $b_{1} = 2,$ $b_{3} = 18,$ то $b_{2}^{2} = 36,$ и без дополнительных условий годятся оба: $b_{2} = 6$ (тогда $q = 3 :$ прогрессия $2, 6, 18$ ) и $b_{2} = - 6$ (тогда $q = - 3 :$ прогрессия $2, - 6, 18$ ). Отбрасывать отрицательный корень можно только если условие требует положительности/возрастания — и это нужно явно написать.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря отрицательного знаменателя

q < 0

Ошибка: найдя из уравнения два значения $q$ (например, $q = 3$ и $q = - 2$ ), молча оставить только положительное.
Правильно: знаменатель ГП может быть любым числом $q \neq = 0,$ в том числе отрицательным (прогрессия знакочередующаяся). Отрицательный корень отбрасывают только при явном запрете в условии («прогрессия из положительных чисел», «возрастающая» и т.п.). Если запрета нет — оба корня дают ответы (см. Пример 7: $q = - 2$ — полноценное решение).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованный отбор корней под рубрику «±»

Ошибка: в чистовике просто написать «значит, $q = 3$ », не объяснив, куда делся второй корень.
Правильно: каждый отброшенный корень должен сопровождаться явной фразой-обоснованием: « $q = \frac{1}{3} < 1$ не подходит, так как прогрессия возрастающая». Молчаливый отбор проверяющий засчитывает как пробел в логике — теряется балл даже при верном числовом ответе.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря решений при делении уравнений системы

Ошибка: делить одно уравнение системы на другое, не убедившись, что делитель не равен нулю.
Правильно: перед делением проверь, что выражение в знаменателе заведомо ненулевое (как в Примере 3, где делитель равен заданной сумме $21 \neq = 0$ ). Если делитель может обращаться в ноль (например, скобка $q - 1$ ), разбери этот случай отдельно, иначе потеряешь корни.

Что запомнить

Любую задачу можно решить «в лоб», расписав все члены через $a_{1}$ и $d$ (или $b_{1}$ и $q$ ).
В геометрической прогрессии деление уравнений системы друг на друга — главный метод избавления от $b_{1}$ (см. Пример 3); перед делением проверяй, что делитель $\neq = 0 .$
Для бесконечно убывающей ГП ( $∣ q ∣ < 1$ ) сумма равна $\frac{b _{1}}{1 - q}$ — этим переводят периодические дроби и считают бесконечные суммы (Пример 4).
Смешанные задачи (числа образуют то АП, то ГП) решаются совместным применением обоих характеристических свойств; тройку чисел в АП удобно записывать симметрично: «средний $\pm d$ » (Пример 5).
Сложные проценты и регулярные вклады — это замаскированная геометрическая прогрессия (Пример 6).
Характеристическое свойство ГП даёт $b_{k} = \pm \dots$ — не теряй знак корня и отрицательный $q .$
В задачах, где фигурирует «сумма с $k$ -го по $m$ -й член», используй разность сумм: $S_{m} - S_{k - 1}$ (важно: именно $S_{k - 1},$ а не $S_{k}$ ).
Если прогрессия состоит из целых/натуральных чисел, применяй неравенства для оценки её членов (как в Примере 8). Суммы натуральных/чётных/нечётных — частные случаи АП.

Оформление под рубрику ДВИ

На письменном ДВИ оценивают не финальное число, а полноту и строгость рассуждений. За один и тот же ответ можно получить полный балл или «минус» — разница именно в оформлении.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения задачи на прогрессию

1. Введи обозначения явно. Напиши, что обозначают $a_{1}, d$ (или $b_{1}, q$ ), и сразу зафиксируй ограничения: для ГП — $b_{1} \neq = 0,$ $q \neq = 0;$ если по условию прогрессия положительная/возрастающая — выпиши это отдельной строкой.
2. Переведи условие в систему уравнений, расписав каждый упомянутый член по формуле $n$ -го члена.
3. Реши систему, поясняя ключевые шаги (деление уравнений — с оговоркой о ненулевом делителе; распад на случай $q = 1$ — отдельным абзацем).
4. Отбери корни письменно. Для КАЖДОГО найденного корня явно проверь условия задачи и одной фразой обоснуй, оставляешь ты его или отбрасываешь.
5. Сделай проверку (подстановка в исходное условие) и запиши ответ.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» на прогрессиях

Не разобран случай $q = 1$ при переменном знаменателе — минус за неполноту (Пример 7).
Молчаливый отбор корней — отброшен корень без обоснования, потерян отрицательный $q$ или знак $\pm .$
Деление уравнений без проверки делителя на ноль — формально потеряны решения.
Не указаны ограничения $b_{1} \neq = 0,$ $q \neq = 0$ в начале (для ГП) — придирка, но на строгих факультетах учитывается.
Нет проверки/подстановки в конце — на текстовых и теоретико-числовых задачах проверка часто обязательна.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Задачи на чистые прогрессии без текстовой оболочки часто ставят в первой половине варианта. Они требуют идеальной арифметики. Перепроверяй корни квадратных уравнений по теореме Виета.
Если в задаче на прогрессию возникают неравенства или условия вроде «все члены натуральные», не пытайся найти точное решение алгебраически. Вырази одну переменную через другую и используй делимость или метод оценки.
Тройку чисел в АП записывай симметрично («средний $\pm d$ »), тройку в ГП — как $\frac{b}{q}, b, b q :$ это сразу убирает лишние неизвестные.
Листа с формулами на экзамене нет. Формулы суммы, $n$ -го члена, суммы бесконечно убывающей ГП и оба характеристических свойства нужно знать на уровне мышечной памяти.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с

b_{1} = 6

q = \frac{1}{3} ?

2.Из

b_{2}^{2} = b_{1} \cdot b_{3}

при

b_{1} = 2,

b_{3} = 18

следует, что

b_{2}

равно:

3.Сколько членов в сумме

1 + q + q^{2} + \dots + q^{k} ?

4.Знаменатель ГП задан как

q = x - 2,

и нужна сумма первых трёх членов. Какой случай обязательно разобрать отдельно перед применением формулы

S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} ?