Суть и базовые понятия

На ДВИ задачи на прогрессии часто маскируются под текстовые задачи, уравнения или комбинации свойств чисел с алгеброй. Практически любая задача на эту тему сводится к составлению и решению системы уравнений относительно первого члена и шага (или знаменателя) прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d$ (разности прогрессии).

Формулы арифметической прогрессии

Формула $n$ -го члена:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Сумма первых $n$ членов (две формы):

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

Характеристическое свойство

Любой член арифметической прогрессии (кроме первого) равен полусумме равноудалённых от него членов:

a_{k} = \frac{a _{k - x} + a _{k + x}}{2}, в частности при x = 1 : a_{k} = \frac{a _{k - 1} + a _{k + 1}}{2}

Геометрическая прогрессия

Последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q \neq = 0$ (знаменатель прогрессии). Требование неравенства нулю необходимо, чтобы прогрессия задавалась однозначно.

Формулы геометрической прогрессии

Формула $n$ -го члена:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Сумма первых $n$ членов (при $q \neq = 1$ ):

S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}

Характеристическое свойство

Квадрат любого члена геометрической прогрессии равен произведению равноудалённых от него членов:

b_{k}^{2} = b_{k - x} \cdot b_{k + x}, в частности при x = 1 : b_{k}^{2} = b_{k - 1} \cdot b_{k + 1}

Универсальный алгоритм решения

В задачах ДВИ редко просят просто подставить числа в формулу. Обычно требуется найти неизвестные параметры через решение нелинейных систем.

Как решать алгебраические задачи на прогрессии

1. Переведи всё на язык $a_{1}$ и $d$ (или $b_{1}$ и $q$ ). Распиши все заданные члены по формуле $n$ -го члена.
2. Составь систему уравнений. Используй условия задачи (суммы, произведения, равенства).
3. Реши систему.

Для арифметической прогрессии чаще всего помогает метод подстановки или сложения/вычитания уравнений (они обычно линейные относительно $a_{1}$ и $d,$ если нет произведений).
Для геометрической прогрессии выноси общие множители за скобки и дели одно уравнение на другое. Так как $b_{1} \neq = 0$ и $q \neq = 0,$ это действие безопасно (но всегда проверяй скобки вида $q \pm 1$ ).
4. Используй характеристическое свойство, если в задаче фигурируют три и более идущих подряд члена. Это позволяет обойтись без $a_{1}$ и сразу составить уравнение на соседние члены.

Примеры решения задач

Разберём задачи, где простое применение формул сочетается с алгебраической строгостью и теорией чисел.

Пример 1. Системы в арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии сумма первых пяти членов равна $45,$ а сумма следующих пяти членов равна $120 .$ Найдите сумму первых $15$ членов этой прогрессии.

Показать решение

Запишем условия через $a_{1}$ и $d .$ Сумма первых пяти членов:

S_{5} = \frac{2 a _{1} + 4 d}{2} \cdot 5 = 45 ⟹ (a_{1} + 2 d) \cdot 5 = 45 ⟹ a_{1} + 2 d = 9.

Сумма следующих пяти членов — это разность суммы первых десяти и суммы первых пяти: $S_{10} - S_{5} = 120 .$ Значит, $S_{10} = 120 + 45 = 165 .$

S_{10} = \frac{2 a _{1} + 9 d}{2} \cdot 10 = 165 ⟹ 2 a_{1} + 9 d = 33.

Составим систему:

{a_{1} + 2 d = 9 2 a_{1} + 9 d = 33 ⟹ {a_{1} = 9 - 2 d 2 (9 - 2 d) + 9 d = 33

Решаем второе уравнение: $18 - 4 d + 9 d = 33 ⟹ 5 d = 15 ⟹ d = 3 .$
Тогда $a_{1} = 9 - 2 \cdot 3 = 3 .$

Нам нужно найти $S_{15} :$

S_{15} = \frac{2 \cdot 3 + 14 \cdot 3}{2} \cdot 15 = \frac{6 + 42}{2} \cdot 15 = 24 \cdot 15 = 360.

Ответ: $360 .$

Пример 2. Отношения в геометрической прогрессии

Возрастающая геометрическая прогрессия состоит из положительных чисел. Сумма первого и третьего членов равна второму, умноженному на $\frac{10}{3} .$ Найдите отношение суммы с 7-го по 12-й член включительно к сумме первых шести членов.

Показать решение

По условию $b_{1} + b_{3} = \frac{10}{3} b_{2} .$ Распишем через $b_{1}$ и $q :$

b_{1} + b_{1} q^{2} = \frac{10}{3} b_{1} q .

Так как прогрессия состоит из положительных чисел, $b_{1} > 0$ и $q > 0 .$ Разделим обе части на $b_{1}$ и умножим на $3 :$

3 + 3 q^{2} = 10 q ⟹ 3 q^{2} - 10 q + 3 = 0.

Корни квадратного уравнения: $q = 3$ и $q = \frac{1}{3} .$
Поскольку прогрессия возрастающая и $b_{1} > 0,$ знаменатель $q$ должен быть больше $1 .$ Значит, подходит только $q = 3 .$

Теперь запишем искомое отношение. Сумма с 7-го по 12-й член:

S_{7 - 12} = b_{7} + b_{8} + \dots + b_{12} = b_{1} q^{6} + b_{1} q^{7} + \dots + b_{1} q^{11} = q^{6} (b_{1} + b_{1} q + \dots + b_{1} q^{5}) = q^{6} S_{6} .

Искомое отношение:

\frac{S _{7 - 12}}{S _{6}} = \frac{q ^{6} S _{6}}{S _{6}} = q^{6} .

Подставляем $q = 3 :$

3^{6} = 729.

Ответ: $729 .$

В ДВИ очень популярны задачи, где алгебра прогрессий пересекается со свойствами целых чисел (делимость, оценки). Здесь требуется максимальная строгость рассуждений.

Пример 3. Прогрессии и теория чисел

Натуральные числа $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения $n,$ если известно, что $n > 1,$ $n$ нечётно, а сумма членов этой прогрессии равна $425 .$

Показать решение

Запишем формулу суммы $n$ членов:

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = 425.

Так как $n$ — нечётное число, выражение $\frac{n + 1}{2}$ является целым, то есть в прогрессии есть ровно один центральный член с номером $k = \frac{n + 1}{2} .$
По свойству арифметической прогрессии $a_{1} + a_{n} = 2 a_{k} .$ Подставим это в формулу суммы:

S_{n} = \frac{2 a _{k}}{2} \cdot n = a_{k} \cdot n = 425.

Поскольку все члены прогрессии натуральные, $a_{k} \in N .$ Значит, $n$ должно быть делителем числа $425 .$ Разложим $425$ на простые множители: $425 = 25 \cdot 17 = 5^{2} \cdot 17 .$
Делители $425 :$ $1, 5, 17, 25, 85, 425 .$
По условию $n > 1,$ значит, возможные кандидаты для $n :$ $5, 17, 25, 85, 425 .$

Проверим каждого кандидата. По условию прогрессия строго возрастает ( $d ⩾ 1,$ так как числа натуральные) и $a_{1} ⩾ 1 .$
Выразим центральный член $a_{k}$ через $a_{1}$ и $d :$

a_{k} = a_{1} + (k - 1) d = a_{1} + (\frac{n + 1}{2} - 1) d = a_{1} + \frac{n - 1}{2} d .

Так как $a_{1} ⩾ 1$ и $d ⩾ 1,$ получаем оценку для $a_{k} :$

a_{k} ⩾ 1 + \frac{n - 1}{2} \cdot 1 = \frac{n + 1}{2} .

С другой стороны, из уравнения $a_{k} \cdot n = 425$ следует, что $a_{k} = \frac{425}{n} .$ Получаем неравенство:

\frac{425}{n} ⩾ \frac{n + 1}{2} ⟹ n (n + 1) ⩽ 850.

Проверяем кандидатов:

Если $n = 85 :$ $85 \cdot 86 = 7310 > 850 .$ Не подходит (оценка нарушена, $a_{k} = 5,$ но для $n = 85$ центральный член не может быть меньше $\frac{85 + 1}{2} = 43$ ).
Если $n = 425 :$ аналогично не подходит.
Если $n = 25 :$ $25 \cdot 26 = 650 ⩽ 850 .$ Проверим реализуемость: нужен центральный член $a_{13} = 425/25 = 17 .$ По формуле $a_{13} = a_{1} + 12 d = 17 .$ В натуральных числах это возможно, например: $d = 1, a_{1} = 5 .$ Подходит.
Если $n = 17 :$ $a_{9} = 425/17 = 25 .$ $a_{1} + 8 d = 25 .$ Возможно (например, $d = 1, a_{1} = 17$ ). Подходит.
Если $n = 5 :$ $a_{3} = 425/5 = 85 .$ $a_{1} + 2 d = 85 .$ Возможно (например, $d = 1, a_{1} = 83$ ). Подходит.

Ответ: $5, 17, 25 .$

Частые ошибки

Количество членов в сумме

Ошибка: при сворачивании выражения $1 + q + q^{2} + \dots + q^{k}$ использовать формулу суммы для $k$ членов: $\frac{q ^{k} - 1}{q - 1} .$
Правильно: в этой сумме $k + 1$ членов (первый член равен $1 = q^{0},$ последний $q^{k}$ ). Правильная формула: $\frac{q ^{k + 1} - 1}{q - 1} .$

Деление на ноль в формуле суммы

Ошибка: применять формулу $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ для геометрической прогрессии, где знаменатель $q$ является неизвестной переменной, не проверив случай $q = 1 .$
Правильно: если $q$ содержит переменную (например, $q = x^{2} - 3 x + 3$ ), обязательно рассматривай два случая: $q = 1$ (тогда сумма равна $n \cdot b_{1}$ ) и $q \neq = 1$ (применяй дробь).

Что запомнить

Любую задачу можно решить «в лоб», расписав все члены через $a_{1}$ и $d$ (или $b_{1}$ и $q$ ).
В геометрической прогрессии деление уравнений системы друг на друга — главный метод избавления от $b_{1} .$
В задачах, где фигурирует «сумма с $k$ -го по $m$ -й член», используй разность сумм: $S_{m} - S_{k - 1}$ (важно: именно $S_{k - 1},$ а не $S_{k}$ ).
Если прогрессия состоит из целых/натуральных чисел, применяй неравенства для оценки её членов (как в Примере 3).

Стратегия на ДВИ

Экзаменационная тактика

Задачи на чистые прогрессии без текстовой оболочки часто ставят в первой половине варианта. Они требуют идеальной арифметики. Перепроверяй корни квадратных уравнений по теореме Виета.
Если в задаче на прогрессию возникают неравенства или условия вроде «все члены натуральные», не пытайся найти точное решение алгебраически. Вырази одну переменную через другую и используй делимость или метод оценки.
Листа с формулами на экзамене нет. Формулы суммы и $n$ -го члена нужно знать на уровне мышечной памяти.