Показательные уравнения — ДВИ

Суть показательных уравнений

Показательные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная переменная находится в показателе степени. Вся стратегия их решения строится на том, чтобы избавиться от степеней и перейти к алгебраическому уравнению (линейному, квадратному или дробно-рациональному).

Главное правило, о котором часто забывают: показательная функция $y = a^{x}$ определена только при $a > 0$ . Это значит, что основание степени всегда строго положительно, а сама функция принимает только положительные значения ( $a^{x} > 0$ при любых $x \in R$ ).

Ключевые свойства и формулы

Для преобразования выражений используются базовые свойства степеней. На ДВИ они требуются для упрощения аргументов перед введением замены. Лист формул на экзамене не выдают — эти тождества надо помнить наизусть и уметь выписать.

ВАЖНОЕ

Свойства степеней

a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}, a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}

(a^{x})^{y} = a^{x y}, (ab)^{x} = a^{x} \cdot b^{x}

a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}, a^{0} = 1 (a > 0)

Любое стандартное показательное уравнение сводится к простейшему виду, где основания равны.

ВАЖНОЕ

Равносильный переход для постоянного основания

При $a > 0$ и $a \neq = 1 :$

a^{g (x)} = a^{h (x)} ⟺ g (x) = h (x)

Если в правой части стоит число $b,$ а не степень того же основания, переход к показателю выполняется через логарифм. Эту формулу на ДВИ тоже надо уметь выписать самому.

ВАЖНОЕ

Переход к логарифму

a^{x} = b ⟺ x = lo g_{a} b (a > 0, a \neq = 1, b > 0)

При $b ⩽ 0$ уравнение $a^{x} = b$ корней не имеет (показательная функция строго положительна). Полезные свойства логарифма для оформления (см. справочник, §2):

lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c (b, c > 0), lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b (b > 0), lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} .

Особый тип задач на ДВИ — уравнения, где неизвестная есть и в показателе, и в основании. Показательно-степенная функция $f (x)^{g (x)}$ на множестве действительных чисел определяется только для $f (x) > 0 .$

ВАЖНОЕ

Равносильный переход для переменного основания

f (x)^{g (x)} = f (x)^{h (x)} ⟺ {f (x) = 1 g (x), h (x) определены или {g (x) = h (x) f (x) > 0

Двигайте a и горизонталь y = c: при c > 0 видна единственная точка пересечения с y = a^x, а при c ≤ 0 решений нет

Основные методы решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм: как выбрать метод

1. Приведи к одному основанию. Раскрой суммы в показателях ( $2^{x + 1} \to 2 \cdot 2^{x}$ ), представь составные основания через простые ( $1 2^{x} \to 3^{x} \cdot 4^{x}$ ). Если после этого слева и справа стоит одно и то же основание — приравнивай показатели: $a^{g (x)} = a^{h (x)} ⟺ g (x) = h (x) .$
2. Вынеси общий множитель. Если несколько слагаемых имеют одну базу с разными показателями ( $a^{x + 2} + a^{x} = \dots$ ), вынеси наименьшую степень $a^{x}$ за скобку: $a^{x} (a^{2} + 1) = \dots$ — и дальше переходи к логарифму.
3. Ищи одинаковые блоки для замены. Если в уравнении встречается только $a^{x}$ и $a^{2 x},$ вводи замену $t = a^{x} .$ Сразу фиксируй условие $t > 0 .$
4. Проверь на однородность. Если уравнение состоит из слагаемых вида $A \cdot a^{2 x} + B \cdot a^{x} b^{x} + C \cdot b^{2 x} = 0,$ это однородное уравнение. Раздели обе части на $b^{2 x}$ и сделай замену $t = (\frac{a}{b})^{x} .$
5. Логарифмируй обе части. Если основания разные и не сводятся к общему (например, $5^{x} \cdot 8^{(x - 1) / x} = 500$ ), прологарифмируй уравнение по удобному основанию. Логарифмировать можно, только когда обе части строго положительны — для показательных это выполнено автоматически.
6. Оцени монотонность (для нестандартных задач). Если одна часть уравнения строго возрастает, а другая строго убывает (или постоянна), корень может быть только один. Его нужно угадать и доказать единственность.

Примеры

Примеры идут параллельно пунктам алгоритма: от самого базового приёма (приведение к основанию) к нестандартным (логарифмирование, монотонность).

ПРИМЕР 1

Приведение к одному основанию

Условие. Реши уравнение $5^{x^{2} - 2 x} = 125 .$

ПРИМЕР 2

Вынесение общего множителя

Условие. Реши уравнение $3^{x + 1} + 3^{x} = 108 .$

ПРИМЕР 3

Замена сопряжённых выражений

Условие. Реши уравнение $(3 + 22)^{x} - 2 (3 - 22)^{x} = 1 .$

ПРИМЕР 4

Однородное уравнение

Условие. Реши уравнение $3 \cdot 1 6^{x} + 2 \cdot 8 1^{x} = 5 \cdot 3 6^{x} .$

ПРИМЕР 5

Логарифмирование обеих частей

Условие. Реши уравнение $5^{x} \cdot 8^{x - 1/ x} = 500 .$

ПРИМЕР 6

Монотонность и оценка (единственный корень)

Условие. Реши уравнение $3^{x} + 4^{x} = 5^{x} .$

ПРИМЕР 7

Переменное основание

Условие. Реши уравнение $∣ x - 2 ∣^{x^{2} - x} = ∣ x - 2 ∣^{2} .$

Случай основания $0 < a < 1$

Для уравнений направление перехода $a^{g} = a^{h} ⟺ g = h$ от величины основания не зависит — оно работает при любом $a > 0,$ $a \neq = 1 .$ А вот в неравенствах при $0 < a < 1$ знак переворачивается, и это самая частая «ловушка» мостика от уравнений к неравенствам.

Два графика показательной функции в одной системе координат

ВАЖНОЕ

Сравнение показателей при разном основании (для неравенств)

a^{f} ⩾ a^{g} ⟺ f ⩾ g (a > 1), a^{f} ⩾ a^{g} ⟺ f ⩽ g (0 < a < 1) .

ПРИМЕР 8

Уравнение с основанием

0 < a < 1

Условие. Реши уравнение $(\frac{1}{3})^{x^{2}} = (\frac{1}{3})^{2 x + 3} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря ограничения

t > 0

при замене

Ошибка: при решении $4^{x} - 2^{x} - 2 = 0$ через замену $t = 2^{x}$ получить корни $t_{1} = 2, t_{2} = - 1$ и записать $2^{x} = - 1,$ пытаясь найти отсюда ответ (или запутаться с логарифмами отрицательного числа).
Правильно: всегда сразу пиши $t > 0$ рядом с заменой $t = a^{x} .$ Это моментально отсекает лишние корни квадратного уравнения до обратной подстановки. Здесь $t = - 1$ отбрасывается, остаётся $2^{x} = 2 ⟺ x = 1 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на выражение без обоснования его ненулевости

Ошибка: в однородном уравнении разделить обе части на $b^{2 x}$ (или на $a^{x}$ при вынесении), не оговорив, что делитель не равен нулю — на ДВИ за это снимают баллы, даже если ответ верный.
Правильно: перед делением явно напиши: « $b^{2 x} > 0$ при любых $x,$ поэтому деление законно и корней не теряет». Для показательных это всегда так ( $a^{x} > 0$ ), но фразу-обоснование комиссия требует. Корни теряются только при делении на выражение, которое может обращаться в нуль (например, при делении на $(x - 1)$ — тогда $x = 1$ нужно разбирать отдельно).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Нулевое или единичное основание (переменное основание)

Ошибка: в уравнении с переменным основанием $f (x)^{g (x)} = f (x)^{h (x)}$ приравнять показатели и взять корень, при котором $f (x) = 0;$ либо вовсе забыть отдельный случай $f (x) = 1 .$
Правильно: показатель степени имеет смысл как функция только при положительном основании, поэтому держи условие $f (x) > 0 .$ И не теряй ветку $f (x) = 1 :$ при основании $1$ показатели могут быть любыми, и эта ветка даёт «свои» корни (см. Пример 7).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Логарифмирование частей, которые могут быть

⩽ 0

Ошибка: прологарифмировать уравнение, не убедившись, что обе части строго положительны (это законно только для $> 0$ ).
Правильно: для чисто показательных уравнений обе части автоматически $> 0,$ логарифмировать можно свободно. Но в смешанных задачах (где появились множители-многочлены или модули) сначала выпиши ОДЗ и убедись, что обе части положительны — иначе логарифмирование неравносильно.

Что запомнить

Чистота аргументов: первое действие всегда — разбить выражения вида $a^{x + c}$ на множители $a^{x} \cdot a^{c},$ а составные основания ( $1 2^{x}$ ) — на простые ( $3^{x} 4^{x}$ ).
Вынесение общего множителя: несколько слагаемых одной базы с разными показателями сворачиваются вынесением наименьшей степени: $a^{x + 2} + a^{x} = a^{x} (a^{2} + 1) .$
Сопряжённые иррациональности: если в задаче даны основания вида $A + B$ и $A - B,$ обязательно проверь их произведение. Скорее всего, оно равно $1,$ что открывает путь к замене $t$ и $1/ t .$
Переход к логарифму: $a^{x} = b ⟺ x = lo g_{a} b$ при $b > 0;$ при $b ⩽ 0$ корней нет. «Некрасивый» логарифмический ответ — норма для ДВИ.
Монотонность: показательная функция возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1 .$ Если графики возрастающей и убывающей (или постоянной) функции пересекаются, то ровно в одной точке — это даёт единственность корня.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ — письменный экзамен, оценка по outcomes-рубрике «±»: важен не только ответ, но и полнота обоснований. Ниже — эталон того, как оформить решение, чтобы не потерять «±», и список типичных снятий.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения (на примере уравнения с заменой)

1. Выпиши ОДЗ до преобразований. Если в показателе дробь/корень/логарифм — сразу фиксируй ограничения (в Примере 5 это $x \neq = 0$ ). Комиссия штрафует за «найденный, но не учтённый» ОДЗ.
2. Обоснуй каждое деление. Делишь на $b^{2 x}$ или на $a^{x}$ — напиши « $> 0$ при любых $x,$ корни не теряются». Делишь на выражение, которое может быть нулём, — разбери этот случай отдельно.
3. При замене фиксируй область значений. $t = a^{x},$ $t > 0$ — это часть решения, а не черновик. Отброшенный корень $t < 0$ обязательно прокомментируй («не подходит, т.к. $t > 0$ »).
4. Обратная подстановка через равносильность. $a^{x} = c ⟺ x = lo g_{a} c$ (при $c > 0$ ). Если $c ⩽ 0$ — явно напиши «корней нет».
5. Для метода оценки докажи единственность. Недостаточно угадать корень — нужно сослаться на строгую монотонность («сумма строго убывающих функций строго убывает, значит корень не более одного»).
6. Запиши итог через объединение/совокупность. Корни из разных ветвей собери в один ответ, проверив каждый на ОДЗ.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» на показательных

Потерян ОДЗ дроби/корня в показателе или условие $f (x) > 0$ для переменного основания.
Деление без обоснования ненулевости делителя (даже если ответ верный).
Не отброшен корень $t ⩽ 0$ при замене $t = a^{x},$ или не прокомментировано почему.
Не доказана единственность в методе монотонности (корень угадан, но обоснования «других нет» нет).
Логарифмирование частей без проверки их положительности (в смешанных задачах).
Потеряна ветка $f (x) = 1$ в уравнении с переменным основанием.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационные приоритеты

Показательные уравнения редко идут отдельным сложным номером на ДВИ. Чаще всего они являются частью смешанной задачи (например, показательно-тригонометрической системы), шагом в решении показательного неравенства или замаскированы под смешанные основания (тогда спасает логарифмирование, как в Примере 5).
Комиссия строго штрафует за потерю ОДЗ. Если в показателе есть дробь или корень — выписывай их ограничения до любых преобразований.
Если корни получаются «некрасивыми» (через логарифм, как в Примерах 3 и 5) — это абсолютно нормально для ДВИ. Не пугайся таких ответов, главное — строго обосновать, что других нет.
Метод монотонности (Пример 6) отделяет сильных абитуриентов: когда замена не работает и оснований несколько, ищи строгую монотонность одной из частей.

Проверь себя0 из 4

1.Уравнение

5^{x^{2} - 2 x} = 125

равносильно какому уравнению?

2.При замене

t = 2^{x}

квадратное уравнение дало корни

t_{1} = 4

t_{2} = - 1 .

Что верно?

3.Сколько корней имеет уравнение

a^{x} = b

при

a > 0,

a \neq = 1

b ⩽ 0 ?

4.Почему уравнение

3^{x} + 4^{x} = 5^{x}

имеет единственный корень

x = 2 ?

Суть показательных уравнений

Ключевые свойства и формулы

Основные методы решения

Примеры

Случай основания 0<a<1

Частые ошибки

Что запомнить

Оформление под рубрику ДВИ

Стратегия на ДВИ

Случай основания $0 < a < 1$