Неравенства с модулем

Суть темы

Модуль (абсолютная величина) встречается в задачах ДВИ повсеместно: как самостоятельная тема (тип 3 — неравенства) и как усложняющий элемент в логарифмах, тригонометрии или задачах с параметром. Главное правило при решении любых задач с модулем — строго следовать определению и равносильным переходам. На ДВИ проверяющие особенно внимательно смотрят на то, как обосновано раскрытие модуля и не потеряны ли куски числовой прямой.

Из определения следует ключевое свойство: модуль любого выражения всегда неотрицателен ($|a|⩾0$). Также полезно помнить тождества: $|a{|}^2=a^2$ и $\sqrt{a^2}=|a|\text{.}$

Основные методы избавления от модуля

Решить неравенство с модулем — значит избавиться от знака модуля, перейдя к системе или совокупности обычных алгебраических неравенств. Есть несколько глобальных подходов: два «прямых» (равносильные переходы для одиночного модуля и метод промежутков) плюс специальный быстрый приём для случая «модуль против модуля» (разность квадратов) и геометрический взгляд.

1. Метод равносильных переходов

Если модуль в неравенстве один (или неравенство имеет специфический вид), его можно раскрыть по схемам равносильности, не разбивая ось на промежутки. Это сильно экономит время и снижает риск ошибки в вычислениях.

2. Метод промежутков (универсальный)

Если в неравенстве несколько модулей, модули складываются или делятся друг на друга, применяется метод промежутков. Он работает всегда.

3. Метод разности квадратов (модуль против модуля)

Когда модули стоят по обе стороны знака сравнения — вида $|f(x)|\vee |g(x)|\text{,}$ где $\vee$ один из знаков $<,⩽,>,⩾\text{,}$ — самый быстрый путь не промежутки, а возведение в квадрат. Оно строго равносильно, потому что обе части неотрицательны ($|f|⩾0$ и $|g|⩾0$), а на неотрицательных числах возведение в квадрат сохраняет порядок.

4. Геометрическая интерпретация (модуль как расстояние)

$|x-a|$ — это расстояние от точки $x$ до точки $a$ на числовой прямой. Этот взгляд превращает многие неравенства в устную геометрию и страхует от арифметических ошибок.

Ключевой факт про сумму расстояний: если $x$ лежит между $a$ и $b\text{,}$ то $|x-a|+|x-b|$ равна фиксированному расстоянию $|a-b|$ (минимально возможное значение). Стоит выйти за отрезок — сумма начинает расти. Это даёт мгновенное решение неравенств вида $|x-a|+|x-b|⩽c\text{.}$

Примеры

Частые ошибки

Что запомнить

• Равносильные переходы быстрее. Если неравенство имеет вид $|f(x)|⩽g(x)$ или $|f(x)|⩾g(x)\text{,}$ не ищи нули подмодуля — сразу переходи к системе или совокупности.
• Модуль против модуля — квадрируй. Для $|f|\vee |g|$ обе части неотрицательны, поэтому $f^2\vee g^2⟺(f-g)(f+g)\vee 0$ — самый быстрый путь.
• Расстояние. $|x-a|$ — расстояние от $x$ до $a\text{;}$ сумма $|x-a|+|x-b|$ минимальна (и равна $|a-b|$) на отрезке между $a$ и $b\text{.}$ Это решает многие неравенства устно.
• Следи за знаком $g(x)\text{.}$ Перед раскрытием схемы проверь правую часть: для «$<$» при $g<0$ решений нет; для «$>$» при $g<0$ решение — вся ОДЗ.
• Знаменатель с модулем — это ОДЗ. Не умножай на знаменатель неизвестного знака; работай через общий знаменатель и условие $Q(x)\ne 0\text{.}$
• Вложенные модули раскрывай снаружи. Если применить схемы равносильности к внешнему модулю, задача распадается на две более простые.
• Рисуй оси. В методе промежутков всегда рисуй числовую прямую для каждого случая: отмечай штриховкой условие случая (сверху) и решение неравенства (снизу). Ответ случая — там, где штриховки пересеклись.

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ оценка идёт по outcomes-рубрике «±»: важен не только итоговый ответ, но и обоснованность каждого перехода. Ниже — эталон полного решения и список, за что снимают баллы.

Стратегия на ДВИ