Суть темы и ОДЗ

Логарифмические уравнения в вариантах ДВИ МГУ проверяют не столько знание самих логарифмов, сколько умение аккуратно работать с ограничениями. Любое преобразование логарифма может сузить или расширить область допустимых значений (ОДЗ), что приведет к потере корней или появлению посторонних.

Определение логарифма $lo g_{a} b = c$ равносильно $a^{c} = b .$ При этом функция имеет смысл только при жестких условиях на основание и аргумент. Решение любой логарифмической задачи должно начинаться с анализа этих ограничений.

Ограничения (ОДЗ) логарифма

Выражение $lo g_{h (x)} f (x)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда выполняется система:

⎩ ⎨ ⎧ f (x) > 0 h (x) > 0 h (x) \neq = 1

Основные формулы и свойства

Для сведения уравнений к простейшему виду используется ограниченный набор тождеств. Их нужно знать наизусть — справочных материалов на экзамене нет.

Базовые свойства логарифмов

Для всех допустимых $a, b, c :$
1. Сумма и разность:

lo g_{a} (b c) = lo g_{a} ∣ b ∣ + lo g_{a} ∣ c ∣

lo g_{a} (\frac{b}{c}) = lo g_{a} ∣ b ∣ - lo g_{a} ∣ c ∣

2. Свойства степеней:

lo g_{a} (b^{n}) = n lo g_{a} ∣ b ∣ и lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b

3. Переход к новому основанию:

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} и lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}

Равносильные переходы

Избавляться от логарифмов («потенцировать») нужно строго через равносильные системы. Это страхует от появления посторонних корней без необходимости делать проверку подстановкой.

Избавление от логарифмов

Уравнение вида $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ при $a > 0, a \neq = 1$ равносильно системе:

{f (x) = g (x) f (x) > 0 (или g (x) > 0)

В систему достаточно добавить условие положительности только одного из аргументов — того, который проще (чаще всего это линейное выражение или константа). Поскольку $f (x) = g (x),$ второй аргумент будет положительным автоматически.

Если в основании стоит переменная $lo g_{h (x)} f (x) = lo g_{h (x)} g (x),$ к системе добавляются условия на основание: $h (x) > 0$ и $h (x) \neq = 1 .$

Алгоритм решения

Как решать логарифмическое уравнение

1. Зафиксируй ОДЗ. Выпиши условия существования всех логарифмов в уравнении или сразу переходи к равносильной системе.
2. Сведи к одному основанию. Используй формулы перехода к новому основанию или вынесение степеней.
3. Собери логарифмы. С помощью свойств суммы и разности получи вид $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ или $lo g_{a} f (x) = c .$
4. Избавься от логарифмов. Перейди к алгебраическому уравнению (квадратному, рациональному).
5. Отбери корни. Сверь полученные решения с исходными ограничениями (ОДЗ).

Примеры решений

Пример 1. Приведение к одному основанию

Условие. Реши уравнение $lo g_{2} (1 - x) = lo g_{4} (3 - x) .$

Показать решение

Сначала выпишем условия на аргументы логарифмов:

{1 - x > 0 3 - x > 0 ⟺ x < 1.

Приведем правый логарифм к основанию 2. Так как $4 = 2^{2} :$

lo g_{4} (3 - x) = lo g_{2^{2}} (3 - x) = \frac{1}{2} lo g_{2} (3 - x) .

Уравнение принимает вид:

lo g_{2} (1 - x) = \frac{1}{2} lo g_{2} (3 - x) .

Умножим обе части на 2 и внесем множитель в степень аргумента левого логарифма:

2 lo g_{2} (1 - x) = lo g_{2} (3 - x) ⟹ lo g_{2} ((1 - x)^{2}) = lo g_{2} (3 - x) .

Теперь можно опустить логарифмы (так как основания равны):

(1 - x)^{2} = 3 - x ⟺ 1 - 2 x + x^{2} = 3 - x ⟺ x^{2} - x - 2 = 0.

По теореме Виета корни квадратного уравнения: $x_{1} = 2$ и $x_{2} = - 1 .$
Сверимся с условием $x < 1 :$

$x = 2$ не подходит (посторонний корень).
$x = - 1$ удовлетворяет условию.

Ответ: $x = - 1 .$

Пример 2. Четные степени и модули

Условие. Реши уравнение $lo g_{3} (x^{2} - 6 x + 9) + lo g_{1/3} (3 - x) = 2 .$

Показать решение

Заметим, что под первым логарифмом стоит полный квадрат: $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} .$
Основание второго логарифма: $1/3 = 3^{- 1} .$

Перепишем уравнение:

lo g_{3} ((x - 3)^{2}) - lo g_{3} (3 - x) = 2.

Выпишем ограничения. Аргументы должны быть строго больше нуля:

{(x - 3)^{2} > 0 3 - x > 0 ⟺ {x \neq = 3 x < 3 ⟺ x < 3.

Выносим квадрат из первого логарифма. По формуле $lo g_{a} (b^{2}) = 2 lo g_{a} ∣ b ∣ :$

2 lo g_{3} ∣ x - 3∣ - lo g_{3} (3 - x) = 2.

Поскольку мы работаем в области $x < 3,$ выражение под модулем отрицательно. Раскрываем модуль со сменой знака: $∣ x - 3∣ = - (x - 3) = 3 - x .$

2 lo g_{3} (3 - x) - lo g_{3} (3 - x) = 2 ⟺ lo g_{3} (3 - x) = 2.

По определению логарифма:

3 - x = 3^{2} ⟺ 3 - x = 9 ⟺ x = - 6.

Проверяем условие $x < 3 :$ $- 6 < 3,$ корень подходит.

Ответ: $x = - 6 .$

Пример 3. Переменное основание и замена

Условие. Реши уравнение $lo g_{x} (x^{2} - 2) = 4 lo g_{x^{2} - 2} x .$

Показать решение

В уравнении присутствуют взаимно обратные логарифмы. Выпишем ограничения для основания и аргументов:

⎩ ⎨ ⎧ x > 0 x \neq = 1 x^{2} - 2 > 0 x^{2} - 2 \neq = 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 x \neq = 1 x \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty) x^{2} \neq = 3 ⟺ x \in (2; 3) \cup (3; + \infty) .

Применим формулу перехода $lo g_{x^{2} - 2} x = \frac{1}{lo g _{x} ( x ^{2} - 2 )} .$
Уравнение принимает вид:

lo g_{x} (x^{2} - 2) = \frac{4}{lo g _{x} ( x ^{2} - 2 )} .

Сделаем замену $t = lo g_{x} (x^{2} - 2) .$ Уравнение $t = \frac{4}{t}$ равносильно $t^{2} = 4,$ откуда $t = 2$ или $t = - 2 .$

Случай 1: $t = 2 .$

lo g_{x} (x^{2} - 2) = 2 ⟹ x^{2} - 2 = x^{2} ⟹ - 2 = 0.

Уравнение не имеет решений.

Случай 2: $t = - 2 .$

lo g_{x} (x^{2} - 2) = - 2 ⟹ x^{2} - 2 = x^{- 2} ⟹ x^{2} - 2 = \frac{1}{x ^{2}} .

Пусть $y = x^{2} .$ Так как $x > 2,$ то $y > 2 .$

y - 2 = \frac{1}{y} ⟹ y^{2} - 2 y - 1 = 0.

Корни квадратного уравнения: $y = 1 \pm 2 .$
Так как $y > 2,$ корень $y = 1 - 2$ (отрицательный) отбрасываем.
Остается $y = 1 + 2 .$ Проверяем: $1 + 2 \approx 2, 414 > 2 .$ Подходит.

Возвращаемся к $x :$

x^{2} = 1 + 2 .

Учитывая, что $x > 0,$ берем только положительный корень:

x = 1 + 2 .

Проверим, не попал ли корень в выколотую точку $x = 3 :$

1 + 2 \neq = 3 ⟹ 1 + 2 \neq = 3 .

Корень удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $x = 1 + 2 .$

Частые ошибки

Потеря модуля при вынесении четной степени

Ошибка: Преобразовать $lo g_{a} (x^{2}) = 2 lo g_{a} x .$ Если $x$ может принимать отрицательные значения (например, $x = - 2$ ), то левая часть имеет смысл $lo g_{a} (4),$ а правая $lo g_{a} (- 2)$ — нет.
Как правильно: Всегда писать модуль: $lo g_{a} (x^{2 k}) = 2 k lo g_{a} ∣ x ∣ .$ Раскрывать модуль нужно строго с опорой на ОДЗ.

Расширение области определения

Ошибка: Разложить логарифм произведения $lo g_{a} (f (x) \cdot g (x)) = lo g_{a} f (x) + lo g_{a} g (x) .$ Левая часть существует, когда обе функции отрицательны (минус на минус дает плюс), а правая — только когда обе положительны. Идет сужение ОДЗ и возможна потеря корней.
Как правильно: Лучше применять формулу справа налево (сворачивать сумму в логарифм произведения). Это расширяет ОДЗ, поэтому достаточно сделать проверку в конце.

Что запомнить

Если в основании логарифма стоит переменная — она должна быть строго больше нуля и не равна единице.
Равносильный переход от $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ к $f (x) = g (x)$ требует проверки положительности только одной (самой простой) функции.
Показательные уравнения (вспомогательная переменная $a^{x} = t$ ) почти всегда комбинируются с логарифмами. Возвращаясь к $x,$ помни, что $x = lo g_{a} t .$

Стратегия на ДВИ

Оформление ОДЗ

Проверяющие на ДВИ строго карают за слова «ОДЗ», если выписаны не абсолютно все условия. Если боишься что-то упустить (особенно в системах), пиши слово «Ограничения» или просто веди решение через знак равносильности $⟺$ с системами.
Если цепочка переходов была неравносильной, обязательно напиши в конце фразу «Сделаем проверку» и покажи подстановку.