Иррациональные уравнения

Суть темы

Квадратные корни (радикалы) в уравнениях создают главную проблему: при возведении обеих частей в квадрат могут появиться «лишние» (посторонние) корни. Это происходит из-за того, что операция возведения в чётную степень необратима: $2^2=4$ и $(-2{)}^2=4\text{.}$

На ДВИ просто выписать ОДЗ подкоренных выражений часто недостаточно. Если после преобразований получатся сложные иррациональные числа, сделать проверку прямой подстановкой будет технически невозможно. Поэтому на мехмате и ВМК от абитуриентов требуют решать такие уравнения методом равносильных переходов.

Основные формулы и переходы

Чтобы не плодить лишние вычисления и не делать громоздких проверок, используй строгие системы эквивалентности.

Выбирай то неравенство, которое проще решить. Второе выполнится автоматически в силу равенства $f(x)=g(x)\text{.}$

Здесь система НЕ нужна: функция $t\mapsto t^{2n+1}$ строго возрастает на всей оси, поэтому переход к степени равносилен сам по себе. Не дописывай сюда «$g(x)⩾0$» — это лишнее ограничение, которое отрежет верные корни.

Здесь $D(g)$ — область определения функции $g(x)\text{.}$ Если $g$ — многочлен, то $D(g)=\mathbb{R}$ и первое условие тривиально. Но если $g$ само содержит радикал или дробь (например $g(x)=\sqrt{x-3}$ или $g(x)=\frac{1}{x-3}$), то $D(g)$ надо выписывать как полноценную систему ограничений ($x-3⩾0$ или $x\ne 3$ соответственно) — иначе формула применима только к простейшему случаю.

Один корень изолируем в одной части (оставив перед ним «$+$»), второй и всё прочее — в другой. Возводим в квадрат, контролируя знак правой части (она должна быть $⩾0$). Останется один радикал — применяем к нему классический переход. После двух возведений равносильность теряется, поэтому в конце обязательна либо проверка, либо строгий контроль знаков на каждом шаге.

Например $\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|\text{,}$ и далее модуль раскрывают по знаку $x-3\text{.}$ Запись $\sqrt{(x-3{)}^2}=x-3$ верна лишь при $x⩾3$ — это одна из самых частых ловушек ДВИ.

Методы решения

1. Прямой равносильный переход. Уединяем корень в одной части уравнения (чтобы перед ним стоял знак плюс), а всё остальное переносим в другую. Затем применяем классический переход к системе. Для нечётного корня — просто возводим в нечётную степень без системы.
2. Замена переменной. Если под корнем и вне его стоит одно и то же (или похожее) выражение, вводим новую переменную $t=\sqrt{f(x)}\text{,}$ причём для чётного корня обязательно учитываем $t⩾0\text{.}$ Это мгновенно избавляет от радикалов.
3. Разложение на множители. Если уравнение имеет вид произведения, приравниваем каждый множитель к нулю, строго контролируя ОДЗ соседних множителей.
4. Два радикала — двойное возведение. При $\sqrt{f}\pm \sqrt{g}=h$ изолируем один корень, возводим в квадрат, получаем уравнение с одним радикалом, возводим ещё раз. На каждом шаге следим за знаком той части, что возводится в квадрат.
5. Свойства функций (монотонность и оценки). Если стандартные алгебраические методы приводят к уравнению высокой степени (4-й и выше), попробуй оценить левую и правую части или исследовать их на возрастание/убывание. Сумма двух возрастающих корней — функция возрастающая. Если она приравнена к константе, корень может быть только один (угадывается подбором, единственность доказывается монотонностью). Сюда же — метод мажорант: если $f(x)⩽M$ и $g(x)⩾M\text{,}$ то равенство $f=g$ возможно только при $f=g=M$ (см. справочник).
6. Домножение на сопряжённое. Выражение вида $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ домножают на $\sqrt{a}+\sqrt{b}\text{,}$ получая рациональную разность $a-b$ (см. справочник, «рационализация»). Полезно, когда корни стоят в знаменателе или когда нужно вынести общий множитель.

Алгоритм решения

Примеры

Частые ошибки

Что запомнить

• Равносильность важнее ОДЗ. Нахождение ОДЗ всего уравнения часто требует решения громоздких неравенств, которые потом даже не понадобятся. Переход $\sqrt{f}=g⟺f=g^2,g⩾0$ элегантно обходит эту проблему.
• Чётный корень — система, нечётный — нет. $\sqrt{f}=g$ требует $g⩾0\text{;}$ $\sqrt[3]{f}=g$ возводится в куб равносильно без ограничений.
• $\sqrt{A^2}=|A|\text{,}$ а не $A\text{.}$ Это не мелочь, а источник потери целой ветки корней.
• Два радикала — изолируй один. Не возводи в квадрат сумму корней целиком: останется новый радикал. Изолируй, возведи, потом возведи ещё раз — и сделай проверку.
• Иррациональный корень сравнивай с границей аналитически. Не «$\approx$», а цепочкой равносильных неравенств.
• Ищи замену. В сложных задачах мехмата ДВИ корни редко возводятся в квадрат «в лоб». Ищи одинаковые комбинации переменных.
• Не дели на выражение с переменной. Выноси общий множитель — иначе теряешь корни.
• Осторожно с множителями. $A\cdot B=0$ не значит, что можно просто объединить корни $A=0$ и $B=0\text{.}$ Каждый корень одной части должен быть допустимым значением для другой части.

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ задание оценивается по outcomes-рубрике «±»: эксперт смотрит не только на ответ, но и на логику переходов. Частичный балл («±») ставят за в целом верный метод с локальным изъяном (потерян корень, не дописано условие, арифметическая описка). Полный ноль — за логически неравносильный переход, выданный за равносильный, или за «угаданный» ответ без обоснования.

Стратегия на ДВИ