Графики и множества с модулями — ДВИ

Суть темы и где она встречается

На ДВИ по математике задачи с модулями встречаются регулярно: это могут быть уравнения (тип 4), планиметрия на координатной плоскости с поиском площади (тип 5 или 6), исследование графиков и, что особенно дорого по баллам, задачи с параметром (тип 6). Тема широкая: она охватывает построение графиков ( $y = ∣ f (x) ∣,$ $∣ y ∣ = f (x),$ $y = f (∣ x ∣),$ вложенные модули вида $∣ x ∣ - 2$ ), множества на плоскости (площадь фигуры, заданной неравенством с модулями) и уравнения/системы с параметром (число решений, касание «уголка» $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a$ прямой или окружностью).

Главный принцип работы с модулем — избавление от него. По определению, модуль раскрывается в зависимости от знака подмодульного выражения. В задачах на графики и множества (когда нужно найти площадь фигуры или нарисовать геометрическое место точек) этот принцип превращается в метод областей. Ты ищешь линии, на которых подмодульные выражения равны нулю, эти линии разбивают координатную плоскость на части, и внутри каждой части модули раскрываются однозначно.

При построении графиков тот же принцип превращается в правила симметрии: модуль аргумента симметрирует график относительно оси $O y,$ а модуль функции — отражает отрицательную часть вверх относительно оси $O x .$

Основные формулы и графические приёмы

Для быстрого построения базовых графиков полезно знать геометрический смысл и правила симметрии.

ВАЖНОЕ

Определение модуля

∣ a ∣ = {a, - a, если a ⩾ 0 если a < 0

Полезные свойства (см. справочник, §4): $∣ a ∣ ⩾ 0,$ $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣,$ $∣ a + b ∣ ⩽ ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ (неравенство треугольника), $a^{2} = ∣ a ∣ .$

ВАЖНОЕ

Базовые фигуры с модулем

∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a (a > 0)

Задаёт границу квадрата (ромба) с центром в начале координат и диагоналями, лежащими на осях. Длина каждой диагонали равна $2 a .$
Неравенство $∣ x ∣ + ∣ y ∣ ⩽ a$ задаёт внутреннюю область этого ромба. Площадь вычисляется как половина произведения диагоналей: $S = \frac{( 2 a ) ^{2}}{2} = 2 a^{2} .$

Геометрический смысл: $∣ x ∣ + ∣ y ∣$ — это так называемое «манхэттенское» (городское) расстояние от точки $(x; y)$ до начала координат. Поэтому $∣ x ∣ + ∣ y ∣ ⩽ a$ — «шар» этого расстояния радиуса $a,$ а выглядит он как ромб (см. справочник, §8, «Координаты на плоскости»).

Правила симметрии графиков:
1. $y = f (∣ x ∣)$ — строй график для $x ⩾ 0,$ а затем симметрично отрази его относительно оси $O y$ на левую полуплоскость (часть старого графика при $x < 0$ стирается). График всегда симметричен относительно $O y .$
2. $y = ∣ f (x) ∣$ — строй график $y = f (x),$ а затем те его части, что лежат ниже оси $O x,$ отрази вверх относительно $O x$ (части над осью оставь без изменений). График целиком лежит в верхней полуплоскости ( $y ⩾ 0$ ).
3. $∣ y ∣ = f (x)$ — строй график $y = f (x)$ там, где $f (x) ⩾ 0,$ и симметрично отрази его относительно оси $O x$ вниз. Это уже не функция: графиком будет кривая из верхней и нижней ветвей (каждому $x$ с $f (x) > 0$ отвечают два значения $y$ ).

y = |x − a| + b — базовый строительный блок перед вложенными модулями ниже

Построение графиков с модулями

Правила симметрии работают «послойно»: при вложенных модулях применяй их от внутреннего к внешнему. Разберём это на конкретном графике.

ПРИМЕР 1

Построение графика

y = ∣ x ∣ - 2

и число решений уравнения

Построить график функции $y = ∣ x ∣ - 2$ и определить, при каких значениях параметра $a$ уравнение $∣ x ∣ - 2 = a$ имеет ровно четыре корня.

График y=||x|-2| с горизонтальной прямой y=a

Упрощённая версия: |x| = c — потяните c и потренируйтесь считать число корней перед разбором вложенного случая выше

✓СОВЕТ

Контроль построения

После построения проверь график в 2-3 опорных точках подстановкой в исходную формулу. Если кривая «не функция» (случай $∣ y ∣ = f (x)$ ), напомни себе: над каждой точкой $x$ может быть две точки графика, симметричные относительно $O x .$

Метод областей на плоскости

Если в условии дана сложная комбинация модулей, применяй универсальный алгоритм.

АЛГОРИТМ

Алгоритм: Метод областей для фигур на плоскости

1. Найди нули подмодульных выражений. Приравняй каждое выражение под знаком модуля к нулю (например, если есть $∣ x - y ∣,$ пиши $x - y = 0 ⟹ y = x$ ).
2. Разбей плоскость. Нарисуй найденные прямые (или кривые) пунктиром на координатной плоскости. Они разобьют плоскость на несколько непересекающихся областей.
3. Определи знаки. Внутри каждой области возьми контрольную точку и определи знаки всех подмодульных выражений.
4. Раскрой модули. Запиши неравенство (или уравнение) без модулей для каждой области, упрости его.
5. Построй и отрежь. Построй полученную фигуру, но обведи сплошной линией и заштрихуй только ту её часть, которая попала внутрь рассматриваемой области. Помни: отрезок прямой может целиком выпасть из области — тогда в этой области границы нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Границы областей: куда отнести знак равенства

Прямые-разделители (например $y = x$ ) сами не имеют площади, поэтому на итоговую площадь не влияют. Но при словесном оформлении удобно заранее договориться: границу включаем строго в один из соседних случаев (например, в случай $y ⩾ x,$ а во второй пишем $y < x$ ). Тогда множества случаев не пересекаются, и нет риска ни потерять кусок, ни посчитать его дважды. Это особенно важно, когда границей служит сторона будущей фигуры.

Примеры разбора задач

ПРИМЕР 2

Сдвиг базовой фигуры

Найти площадь фигуры, заданной неравенством $∣ x - 2∣ + ∣ y + 1∣ ⩽ 3 .$

ПРИМЕР 3

Использование метода областей

Найти площадь фигуры, заданной неравенством $∣ y - x ∣ + ∣ x ∣ ⩽ 2 .$

ПРИМЕР 4

Задача уровня ДВИ (симметрия и области)

Найти площадь фигуры, заданной неравенством $∣ x ∣ + ∣ y ∣ + ∣ x - y ∣ ⩽ 4 .$

Задачи с параметром

Это самый дорогой по баллам сюжет на стыке «графики + множества + модули». Базовый приём — графический метод (см. справочник, §10): развязать переменную и параметр, нарисовать неподвижную фигуру и семейство фигур, зависящих от параметра, и найти граничные положения (касание, прохождение через узловые точки).

ПРИМЕР 5

Число общих точек ромба и окружности

При каких значениях параметра $a$ система

{∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2 x^{2} + y^{2} = a

имеет ровно восемь решений?

ПРИМЕР 6

Число решений уравнения с параметром (графический метод)

При каких значениях параметра $a$ система

{y = ∣ x ∣ y = - ∣ x - 4∣ + a

имеет ровно два решения?

Геометрический смысл суммы модулей (быстрый контроль)

✓СОВЕТ

Сумма модулей как сумма расстояний

Выражение $∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣$ (на числовой прямой) — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $a$ и $b .$ Поэтому:

минимум суммы равен $∣ a - b ∣$ и достигается на всём отрезке между $a$ и $b;$
уравнение $∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣ = c$ при $c = ∣ a - b ∣$ имеет целый отрезок решений, при $c > ∣ a - b ∣$ — ровно две точки, при $c < ∣ a - b ∣$ — ни одной.

Аналогично $∣ x ∣ + ∣ y ∣$ на плоскости — «городское» расстояние до начала координат, а его линии уровня — ромбы. Эти наблюдения дают мгновенный контроль ответа в задачах с параметром (см. Пример 6) без полного разбора случаев.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Непроверяемые пересечения

Ошибка: Найти уравнения всех прямых, ограничивающих фигуру, найти точки их попарного пересечения и сразу посчитать площадь по формуле Пика или Гаусса, игнорируя то, что некоторые точки лежат вне области, для которой было выведено уравнение прямой.
Правильно: Всегда рисуй чертёж. Получив границу $y ⩽ 2 x + 2$ для случая $x < 0$ и $y ⩾ x,$ оставляй на чертеже только тот отрезок прямой, который физически лежит в секторе между прямыми $x = 0$ (слева) и $y = x$ (сверху). Если отрезок целиком выпал из области — в этой области данной границы вообще нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Двойной счёт или потеря площади на границах

Ошибка: При разбиении на случаи в обоих соседних случаях писать нестрогий знак (например, и $y ⩾ x,$ и $y ⩽ x$ ), либо в обоих — строгий, «потеряв» границу. В первом варианте граница учитывается дважды, во втором — теряется.
Правильно: Договорись заранее: границу включаем строго в один случай. Например, пиши «Случай 1: $y ⩾ x$ » и «Случай 2: $y < x$ ». На площадь это не влияет (у прямой площадь нулевая), но логика разбора остаётся непротиворечивой, и при подсчёте площади по частям ни один кусок не задвоится и не пропадёт.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверное раскрытие модуля разности

Ошибка: В области, где $y > x,$ записать $∣ x - y ∣ = x - y$ (перепутать знак), потому что « $x$ стоит первым».
Правильно: Знак определяется знаком подмодульного выражения, а не порядком букв. Если $y > x,$ то $x - y < 0,$ значит $∣ x - y ∣ = - (x - y) = y - x .$ Всегда проверяй контрольной точкой: при $x = 0, y = 1$ имеем $∣ x - y ∣ = ∣ - 1 ∣ = 1 = y - x .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между площадью и длиной

Ошибка: В задаче «найти площадь фигуры, заданной уравнением $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2$ », написать ответ $8 .$
Правильно: Уравнение задаёт линию (в данном случае периметр ромба), её площадь равна нулю. Площадь имеют только фигуры, заданные неравенствами (или системами неравенств). Внимательно читай знак: $⩽$ задаёт плоскую фигуру.

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ работа оценивается по схеме «±»: за полное верное решение — полный балл, за решение с пробелом в обосновании — «±» (частичный балл). Лист формул не выдают, поэтому любую формулу площади нужно обосновать. Ниже — эталон оформления и типичные потери баллов.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения (на примере

∣ x ∣ + ∣ y ∣ ⩽ a

)

1. Раскрытие модулей по случаям — словами. «Рассмотрим I четверть: $x ⩾ 0,$ $y ⩾ 0 .$ Тогда $∣ x ∣ = x,$ $∣ y ∣ = y,$ и неравенство принимает вид $x + y ⩽ a .$ » И так для каждой из четырёх областей. Каждый случай должен начинаться с явного указания знаков подмодульных выражений.
2. Описание границ. Для каждой области укажи, какими прямыми ограничен кусок фигуры и каковы координаты вершин.
3. Обоснование формы фигуры. Не пиши «очевидно, это ромб». Покажи: вершины $(\pm a; 0),$ $(0; \pm a),$ диагонали лежат на осях и равны $2 a$ каждая.
4. Вывод площади, а не цитирование. Формулу $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ на ДВИ цитировать без вывода рискованно. Надёжнее разбить фигуру на части: ромб состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников с катетами $a$ и $a,$ площадь каждого $\frac{1}{2} a^{2},$ итого $S = 4 \cdot \frac{1}{2} a^{2} = 2 a^{2} .$ Такой вывод не оставляет места придиркам.
5. Проверка вершин. Подставь координаты найденных вершин в исходное неравенство и убедись, что получается граничное равенство.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±»

Раскрытие модуля без указания знака подмодульного выражения («просто убрали палочки») — обоснование отсутствует, балл срезается.
Готовая формула $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ без вывода для нестандартной фигуры — лист формул не выдан, цитирование не засчитывается. Выводи через разбиение на треугольники.
«Объединяя части, получаем параллелограмм» без проверки — нужно показать параллельность и равенство противоположных сторон (через векторы), иначе форма не обоснована.
Нет чертежа — даже верный ответ при методе областей без рисунка вызывает вопросы к тому, какие куски границ реально входят в фигуру.
Потерянные граничные случаи параметра ( $a = 2,$ $a = 4$ в Примере 5) — пограничные значения нужно разбирать отдельно и явно решать, входят они в ответ или нет.

Что запомнить

Сдвиг аргументов под модулями (вида $∣ x - x_{0} ∣ + ∣ y - y_{0} ∣ ⩽ a$ ) не меняет форму и площадь фигуры, а лишь сдвигает её центр в точку $(x_{0}; y_{0}) .$
Симметрия — твой лучший друг. Если неравенство не меняется при замене $x$ на $- x$ (или $(x; y)$ на $(- x; - y)$ ), можно нарисовать половину фигуры и отзеркалить её. Это сокращает вычисления.
Графики: модуль аргумента ( $y = f (∣ x ∣)$ ) симметрирует относительно $O y;$ модуль функции ( $y = ∣ f (x) ∣$ ) отражает нижнюю часть вверх относительно $O x;$ $∣ y ∣ = f (x)$ достраивает нижнюю ветвь. Вложенные модули раскрывай от внутреннего к внешнему.
Метод областей универсален и работает всегда. Главное — аккуратно определить знаки на черновике и заранее договориться, куда относить границы.
В задачах с параметром: неподвижная фигура + семейство подвижных; ответ дают граничные положения (касание, прохождение через узлы). Пограничные значения параметра разбирай отдельно.
Сумма модулей = сумма расстояний — мгновенный контроль ответа.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Оформление: На ДВИ ты обязан словами или в таблице расписать каждый случай раскрытия модулей («Случай 1: ... Тогда неравенство принимает вид...»). Отсутствие обоснования, почему модуль раскрыт именно так, карается потерей баллов.
Площадь — через вывод. Не цитируй $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ как готовую формулу: разбей фигуру на треугольники/прямоугольники и сложи их площади — лист формул не выдают.
Проверка вершин: Когда ты нашёл координаты вершин многоугольника (например, $(2; 2)$ ), подставь их в самое первое исходное неравенство и проверь, что получается верное числовое тождество (граничный случай). Это гарантирует, что ты не ошибся в арифметике при раскрытии.
Параметр — отдельно про границы. В задачах «при каких $a .$ ..» обязательно разбери пограничные значения ( $a,$ при которых число решений меняется): касание, совпадение с целым отрезком, прохождение через вершину. Именно на них теряют баллы.
Самоконтроль площади: Если фигура разбивается на базовые (треугольники, прямоугольники), считай площадь по частям, прямо нанося размеры на график.

Проверь себя0 из 4

1.Какую фигуру задаёт неравенство

∣ x ∣ + ∣ y ∣ ⩽ 3

и какова её площадь?

2.Как из графика

y = f (x)

получить график

y = f (∣ x ∣) ?

3.При каких

a

уравнение

∣ x ∣ - 2 = a

имеет ровно четыре корня?

4.Чему равен минимум выражения

∣ x - 1∣ + ∣ x - 5∣ ?