Экстремальные задачи и оценки — ДВИ

Суть темы

Задачи на оценки и экстремумы (поиск наибольшего или наименьшего значения) часто встречаются во второй части вариантов ДВИ МГУ (обычно это номера 6 или 8). Их главная особенность — отсутствие стандартного лобового алгоритма. Алгебраические преобразования приводят к громоздким уравнениям высоких степеней, а производная либо неприменима, либо вычисляется слишком сложно.

Такие задачи требуют применения неравенств, исследования монотонности, геометрических интерпретаций или метода мажорант (оценок). Ниже разобраны все четыре подхода, каждый — с примером ДВИ-уровня.

✓СОВЕТ

Главный принцип темы

Любая оценка состоит из двух обязательных частей: (1) доказать неравенство $f (x) ⩾ M$ (или $⩽ M$ ) и (2) предъявить конкретное значение переменной, при котором достигается равенство. Только обе части вместе дают ответ «минимум равен $M$ ». Если равенство недостижимо, минимума нет — есть лишь точная нижняя грань (инфимум), и это другой ответ.

Основные формулы и неравенства

На ДВИ все базовые неравенства считаются известными, их можно применять без вывода, но обязательно указывать условия достижения равенства. Лист формул не выдаётся, поэтому ниже даны не только сами оценки, но и краткие выводы для тех из них, которые абитуриент должен уметь восстановить на месте. Подробный свод см. в справочнике (раздел «Неравенства и модули»).

ВАЖНОЕ

Неравенство Коши (о средних) для двух чисел

Для любых неотрицательных чисел $a ⩾ 0$ и $b ⩾ 0 :$

\frac{a + b}{2} ⩾ ab

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b .$

ВАЖНОЕ

Неравенство о средних (AM–GM) для

n

чисел

Для любых неотрицательных чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} ⩾ 0 :$

\frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} ⩾ n a_{1} a_{2} \dots a_{n}

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} .$

Чаще всего на ДВИ нужна форма для трёх слагаемых:

a + b + c ⩾ 3 3 ab c (a, b, c ⩾ 0) .

Равенство — при $a = b = c .$ Это рабочая лошадка для оценки сумм и произведений трёх и более переменных. Приём: если в выражении одно слагаемое «крупное», его иногда искусственно дробят на несколько одинаковых, чтобы при перемножении степени переменной сократились (см. Пример 4).

ВАЖНОЕ

Сумма взаимно обратных величин

Для любого числа $a > 0 :$

a + \frac{1}{a} ⩾ 2

Для любого числа $a < 0 :$

a + \frac{1}{a} ⩽ - 2

Равенство достигается при $a = 1$ (и $a = - 1$ соответственно). Это частный случай неравенства Коши при $b = \frac{1}{a} .$

ВАЖНОЕ

Сумма квадратов

Для любых действительных $a$ и $b :$

a^{2} + b^{2} ⩾ \frac{( a + b ) ^{2}}{2}

Равенство достигается при $a = b .$ Эта оценка легко выводится из $(a - b)^{2} ⩾ 0 :$ раскрыв и перенеся, получаем $2 (a^{2} + b^{2}) ⩾ (a + b)^{2} .$

ВАЖНОЕ

Неравенство Коши–Буняковского

Для любых действительных $a_{1}, \dots, a_{n}$ и $b_{1}, \dots, b_{n} :$

(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})^{2} ⩽ (a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) .

Равенство — когда наборы пропорциональны: $\frac{a _{1}}{b _{1}} = \dots = \frac{a _{n}}{b _{n}} .$ Это «брат» оценки линейной комбинации синуса и косинуса и удобен для сумм корней. Частный случай ( $b_{i} = 1$ ): $(a_{1} + \dots + a_{n})^{2} ⩽ n (a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) .$

ВАЖНОЕ

Оценка линейной комбинации синуса и косинуса

Для любых действительных $a, b$ и $x :$

- a^{2} + b^{2} ⩽ a sin x + b cos x ⩽ a^{2} + b^{2}

Выводится через введение вспомогательного угла (механизм — ниже).

Меняй a и b: амплитуда суммы остаётся равной √(a² + b²), а график сдвигается по фазе.

✓СОВЕТ

Вывод вспомогательного угла — нужно уметь на экзамене

Лист формул не выдаётся, поэтому границы $\pm a^{2} + b^{2}$ абитуриент должен уметь получить сам. Идея: вынести за скобку $R = a^{2} + b^{2} :$

a sin x + b cos x = R (\frac{a}{R} sin x + \frac{b}{R} cos x) .

Поскольку $(\frac{a}{R})^{2} + (\frac{b}{R})^{2} = 1,$ найдётся угол $φ$ такой, что $cos φ = \frac{a}{R}$ и $sin φ = \frac{b}{R}$ (при $a > 0$ удобно $φ = t g^{- 1} \frac{b}{a},$ то есть $φ = arct g \frac{b}{a}$ ). Тогда скобка сворачивается по формуле синуса суммы:

a sin x + b cos x = R (sin x cos φ + cos x sin φ) = R sin (x + φ) = a^{2} + b^{2} sin (x + φ) .

Так как $∣ sin (x + φ) ∣ ⩽ 1,$ сразу получаем оценку $∣ a sin x + b cos x ∣ ⩽ a^{2} + b^{2} .$

Прямоугольный треугольник вспомогательного угла

Метод мажорант

Мажорантой функции называется число, ограничивающее её значения сверху или снизу. Если в уравнении $f (x) = g (x)$ функции имеют разную природу (например, тригонометрия и многочлен), следует проверить их области значений.

АЛГОРИТМ

Алгоритм метода мажорант

1. Найди наибольшее значение левой части уравнения: $f (x) ⩽ M .$
2. Найди наименьшее значение правой части уравнения: $g (x) ⩾ M .$
3. Убедись, что границы действительно совпадают — это одно и то же число $M .$ Совпадение нужно именно доказать (вычислить обе границы и сравнить), а не «увидеть на глаз». Если верхняя граница левой части строго меньше нижней границы правой, уравнение не имеет корней.
4. Если границы совпали, уравнение равносильно системе:

{f (x) = M g (x) = M

5. Реши то уравнение системы, которое проще.
6. Обязательно подставь найденные корни во второе уравнение и проверь, выполняется ли равенство. Здесь возможна ловушка: подстановка может дать ложное равенство — тогда система несовместна и корней нет. Молча выписывать корни первого уравнения в ответ нельзя.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Граница совпала формально, а система несовместна

Если левая часть $⩽ M$ достигает $M$ в точках $x \in X_{f},$ а правая $⩾ M$ достигает $M$ в точках $x \in X_{g},$ то корни уравнения — это $X_{f} \cap X_{g} .$ Пересечение может оказаться пустым: например, левая равна $M$ при $x = 1,$ а правая — при $x = 2 .$ Тогда, несмотря на формальное совпадение границ, общих точек нет и уравнение корней не имеет. Поэтому шаг 6 (подстановка и проверка) пропускать нельзя — за необоснованный переход рубрика снимает балл.

Метод монотонности

Иногда экстремум или единственность корня берутся не неравенством, а исследованием монотонности. Функция $f$ возрастает на промежутке, если бо́льшему значению аргумента отвечает бо́льшее значение функции; для дифференцируемой функции достаточно $f^{'} (x) ⩾ 0$ на промежутке (и $f^{'} (x) > 0$ всюду, кроме отдельных точек, — для строгого возрастания). Два типовых применения:

Экстремум на отрезке. Если $f$ монотонна на $[p; q],$ то наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах: для возрастающей $f$ минимум — в точке $x = p,$ максимум — в точке $x = q .$ Никаких неравенств подбирать не надо.
Единственность корня уравнения. Если левая часть уравнения строго возрастает, а правая убывает (или постоянна), то график пересекается не более чем в одной точке. Достаточно угадать один корень и сослаться на монотонность — других нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Монотонность нужно доказать, а не предположить

Запись «функция, очевидно, возрастает» без обоснования (знак производной, сравнение значений, сумма возрастающих) под рубрику не засчитывается. Указывай причину: « $f^{'} (x) = 1 - sin x ⩾ 0,$ значит $f$ не убывает» или «сумма двух возрастающих функций возрастает».

Геометрический подход

Многие алгебраические выражения имеют прозрачный геометрический смысл на координатной плоскости. Переход к геометрии избавляет от громоздкой алгебры модулей и радикалов.

Если требуется найти минимум суммы двух корней вида $(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} + (x - x_{2})^{2} + (y - y_{2})^{2},$ это эквивалентно поиску такой точки $M (x; y),$ сумма расстояний от которой до заданных точек $A (x_{1}; y_{1})$ и $B (x_{2}; y_{2})$ минимальна. По неравенству треугольника этот минимум равен длине отрезка $A B$ и достигается, когда точка $M$ лежит на отрезке $A B .$

Оценка через дискриминант

Для дробно-рациональных выражений вида $y = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ (где числитель и знаменатель — квадратные трёхчлены) множество значений удобно искать так: приравнять выражение к параметру $y,$ привести к квадратному уравнению относительно $x$ и потребовать, чтобы у него был хотя бы один действительный корень, то есть $D ⩾ 0 .$ Получится неравенство уже на $y$ — оно и задаёт область значений, а её концы суть экстремумы.

АЛГОРИТМ

Алгоритм оценки дискриминантом

1. Обозначь $y = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ и избавься от знаменателя: $y Q (x) = P (x) .$
2. Перенеси всё в одну часть и собери по степеням $x$ — получится $A (y) x^{2} + B (y) x + C (y) = 0 .$
3. Разбери отдельно случай $A (y) = 0$ (уравнение становится линейным — проверь, даёт ли оно корень).
4. При $A (y) \neq = 0$ потребуй $D = B^{2} - 4 A C ⩾ 0 .$ Реши это неравенство относительно $y .$
5. Концы полученного промежутка для $y$ — кандидаты в максимум и минимум; обязательно проверь достижимость (предъяви $x,$ дающий граничное $y$ ).

Примеры

ПРИМЕР 1

Метод мажорант

Реши уравнение $sin (π x) + 3 cos (π x) = 2 (x - \frac{1}{6})^{2} + 2 .$

ПРИМЕР 2

Оценка через неравенство средних

Известно, что положительные числа $x$ и $y$ удовлетворяют условию $x + y = 1 .$ Найди наименьшее возможное значение выражения

(x + \frac{1}{x})^{2} + (y + \frac{1}{y})^{2}

ПРИМЕР 3

Геометрическая оценка

Найди наименьшее значение выражения:

x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y + 5 + x^{2} - 12 x + y^{2} - 8 y + 52

ПРИМЕР 4

Оценка тремя слагаемыми (n-местное Коши)

Найди наименьшее значение выражения $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ при $x > 0 .$

ПРИМЕР 5

Метод монотонности (экстремум и единственность корня)

(а) Найди наибольшее и наименьшее значения функции $f (x) = x + cos x$ на отрезке $[0; π] .$
(б) Реши уравнение $3^{x} + 4^{x} = 5^{x} .$

ПРИМЕР 6

Экстремум через дискриминант

Найди наибольшее и наименьшее значения функции $y = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + x + 1} .$

ПРИМЕР 7

Ловушка: экстремум НЕ достигается

(а) Найди наибольшее значение функции $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ при $x ⩾ 0 .$
(б) Найди наименьшее значение выражения $x + \frac{1}{x}$ при $x ⩾ 2 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Оценка без проверки достижимости

Ошибка: Доказать, что выражение $f (x) ⩾ 10,$ и сразу записать $10$ в ответ, не найдя конкретное $x .$
Правильно: На ДВИ оценка считается неполной и не засчитывается, если не доказано, что равенство действительно достигается. Обязательно предъяви значение переменных, при которых $f (x) = 10,$ либо докажи существование такого корня.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Экстремум перепутан с инфимумом (равенство недостижимо)

Ошибка: Доказать оценку $f (x) > 1$ (или $f (x) ⩾ M$ с равенством, недостижимым на области) и записать в ответ «минимум $= 1$ ».
Правильно: Если граница не достигается ни при каком допустимом $x$ (например, она реализуется лишь в пределе $x \to \infty$ или в точке вне ОДЗ/области), то экстремума нет — есть только точная грань (инфимум/супремум). Проверяй: лежит ли точка равенства в допустимой области. Если нет — ищи экстремум монотонностью на самой области (см. Пример 7).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неравенство Коши для отрицательных чисел

Ошибка: Применить формулу $\frac{a + b}{2} ⩾ ab$ к переменным, которые могут принимать отрицательные значения.
Правильно: Неравенство средних работает только для $a ⩾ 0$ и $b ⩾ 0 .$ Если знак неизвестен, предварительно докажи положительность выражений (например, по ОДЗ логарифма или корня).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Точка равенства в AM-GM игнорирует область

Ошибка: Применить $a + b + c ⩾ 3 3 ab c$ и взять за ответ границу, не проверив, что точка равенства $a = b = c$ допустима по условию (входит в ОДЗ, в заданный отрезок, согласована с дополнительными ограничениями).
Правильно: Условие равенства $a_{1} = \dots = a_{n}$ — это уравнение(я), которое надо решить и убедиться, что найденная точка лежит в области. Если не лежит — настоящий экстремум берётся монотонностью на области, а не неравенством (Пример 7(б)).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Метод мажорант: границы «совпали на глаз»

Ошибка: Записать систему $f = M,$ $g = M,$ не доказав, что верхняя граница левой части и нижняя граница правой — это одно и то же число; либо выписать корни простого уравнения системы без подстановки во второе.
Правильно: Сначала вычисли обе границы и сравни их (если не совпали — корней нет). Затем после решения простого уравнения обязательно подставь найденные корни во второе: пересечение решений может быть пустым (система несовместна).

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике «±»: проверяющий смотрит не только на ответ, но и на полноту обоснования. В задачах на оценки балл чаще всего теряют не на вычислениях, а на необоснованных переходах. Ниже — эталон полного решения и список типичных снятий «±».

✓СОВЕТ

Эталон полного решения оценочной задачи

1. Оценка. Чётко выпиши применяемое неравенство и его условие равенства (например: «по неравенству о средних для трёх чисел, равенство при $a = b = c$ »). Базовые неравенства можно применять без вывода, но условие равенства указывать обязательно.
2. Доказательство достижимости. Реши уравнение(я) условия равенства, найди конкретные значения переменных и подставь их в исходное выражение, показав, что граница реально получается.
3. Проверка области. Убедись, что точка равенства удовлетворяет всем ограничениям (ОДЗ, $x + y = 1,$ заданный отрезок). Если не удовлетворяет — переходи к исследованию монотонности на области.
4. Вывод. Сформулируй ответ в точной форме: «наименьшее значение равно $M,$ достигается при $x = \dots$ » — либо «наименьшего значения нет, точная нижняя грань равна $M$ ».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±»

Оценка есть, достижимости нет. Доказано $f ⩾ M,$ но не предъявлена точка равенства — решение неполное, ответ не засчитывается.
Точка равенства вне области. Применили неравенство, но не проверили, что условие равенства совместно с ограничениями задачи (классическая потеря балла).
«Минимум» вместо «инфимума». Записан экстремум там, где он недостижим.
Метод мажорант без проверки совместности. Выписаны корни простого уравнения системы без подстановки во второе уравнение.
Применили Коши к возможно отрицательным числам без доказательства их положительности.
«Очевидно, возрастает» — монотонность заявлена без обоснования (знак производной / сумма возрастающих / сравнение значений).

Что запомнить

Если в уравнении встречаются «несовместимые» функции (многочлены с тригонометрией или показательными функциями), первым делом пробуй метод мажорант — но совпадение границ доказывай, а корни проверяй подстановкой.
Выражения вида $a^{2} + b^{2}$ или модули часто скрывают геометрию: расстояния между точками.
Оценка $a + \frac{1}{a} ⩾ 2$ работает с любыми взаимно обратными положительными блоками: $lo g_{2} x + lo g_{x} 2 ⩾ 2$ (если оба логарифма положительны, то есть $x > 1$ ) или $3^{x} + 3^{- x} ⩾ 2 .$
Для сумм и произведений трёх и более переменных — неравенство о средних $a + b + c ⩾ 3 3 ab c$ (равенство при $a = b = c$ ); крупное слагаемое иногда дробят на равные части, чтобы степени под корнем сократились.
Для дробно-рациональных функций множество значений берётся дискриминантом (приравнять к $y,$ квадратное по $x,$ $D ⩾ 0$ ).
Часть экстремумов берётся монотонностью, а не неравенством: монотонную функцию исследуют на концах отрезка, а единственность корня доказывают «возрастает = убывает».
Всегда ищи точку равенства и проверяй, лежит ли она в области. Если равенство недостижимо — это инфимум, а не минимум. Без указания $x,$ при котором достигается экстремум, решение неполное.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Стратегия экзамена

Задачи на оценки часто выглядят пугающе (большие степени, много переменных). Не пытайся раскрывать скобки или возводить в квадрат суммы корней — это путь в никуда. Ищи полные квадраты, применяй неравенство о средних или сведи к квадратному уравнению (дискриминант).
Выбор метода по «сигнатуре» задачи: тригонометрия + многочлен → мажоранты; сумма корней / модулей → геометрия расстояний; симметричная сумма с произведением переменных → AM-GM (две или три переменные); дробь «квадрат на квадрат» → дискриминант; функция явно монотонна → концы отрезка / единственность корня.
При отборе корней в методе мажорант проверяющие строго следят за логикой. Выписывай систему $f (x) = M$ и $g (x) = M,$ решай ту часть, которая проще (обычно алгебраическую), а затем обязательно делай письменную подстановку найденного корня в оставшееся уравнение.
Прежде чем записать «минимум $= M$ », задай себе контрольный вопрос: достигается ли равенство при допустимом $x ?$ Если точка равенства вне области — настоящий экстремум ищи монотонностью.

Проверь себя0 из 4

1.При каком условии неравенство Коши

\frac{a + b}{2} ⩾ ab

обращается в равенство?

2.Чему равно наименьшее значение

x + \frac{1}{x}

при

x ⩾ 2 ?

3.В каких пределах лежит выражение

a sin x + b cos x

при любых действительных

a, b ?

4.В методе мажорант границы обеих частей совпали и равны

M .

Что нужно сделать после решения более простого уравнения системы?