Четырёхугольники — ДВИ

Фундаментальные свойства четырёхугольников

Задачи на четырёхугольники в ДВИ редко решаются "в лоб" применением одной формулы. Как правило, требуется комбинация фактов о площадях, вписанных и описанных окружностях, а также дополнительные построения.

Любой четырёхугольник подчиняется базовым теоремам, которые нужно знать наизусть. Но помни: на ДВИ не выдают лист формул, поэтому каждую ключевую формулу нужно уметь не только применить, но и вывести — память может подвести, а строгое обоснование спрашивают напрямую. Ниже мы даём не только формулировки, но и короткие выводы.

ВАЖНОЕ

Площадь произвольного четырёхугольника

Площадь любого выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α

Здесь $α$ — угол между диагоналями. Можно брать любой из двух смежных углов между ними: синусы смежных углов равны ( $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ ), поэтому неоднозначности нет. Для выпуклого четырёхугольника диагонали пересекаются внутри. Формула остаётся верной и для невыпуклого четырёхугольника, но тогда нужно аккуратнее работать с точкой пересечения диагоналей (она может лежать на продолжении), и под $α$ понимают угол между прямыми, содержащими диагонали.

✓СОВЕТ

Вывод формулы

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α

Пусть диагонали $A C = d_{1}$ и $B D = d_{2}$ пересекаются в точке $O$ под углом $α .$ Они разбивают четырёхугольник на четыре треугольника: $A O B,$ $B O C,$ $C O D,$ $D O A .$ Обозначим $O A = p,$ $O C = q$ (так что $p + q = d_{1}$ ) и $O B = m,$ $O D = n$ (так что $m + n = d_{2}$ ). Углы при вершине $O$ либо равны $α,$ либо смежны с ним, поэтому синус у всех четырёх один и тот же. Складываем площади:

S = \frac{1}{2} p m sin α + \frac{1}{2} q m sin α + \frac{1}{2} q n sin α + \frac{1}{2} p n sin α = \frac{1}{2} sin α (p + q) (m + n) = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α .

Вывод занимает три строки — на экзамене его не грех привести, если формулу нужно обосновать.

Особое внимание на ДВИ уделяется связи четырёхугольников с окружностями. Эти свойства являются критериями: они работают в обе стороны.

ВАЖНОЕ

Вписанные и описанные четырёхугольники

Вписанная окружность: в выпуклый четырёхугольник $A B C D$ можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны:

A B + C D = B C + A D

Описанная окружность: около выпуклого четырёхугольника $A B C D$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

✓СОВЕТ

Вывод критерия описанной окружности

Пусть около $A B C D$ описана окружность. Угол $∠ A$ — вписанный, он опирается на дугу $B C D,$ а противоположный угол $∠ C$ — на дугу $D A B .$ Вместе эти две дуги составляют всю окружность ( $36 0^{\circ}$ ). Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, поэтому

∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} (⌣ B C D + ⌣ D A B) = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ} .

Обратно: если $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ},$ то четвёртая вершина лежит на окружности, описанной около трёх остальных (доказывается от противного — если бы она была внутри или вне, сумма углов оказалась бы больше или меньше $18 0^{\circ}$ ). Критерий вписанной окружности выводят через равенство отрезков касательных, проведённых из одной вершины (см. Пример 2).

Параллелограмм и ромб

Ключевой метрический факт для параллелограмма, который позволяет находить неизвестные диагонали или стороны без использования теоремы косинусов:

ВАЖНОЕ

Сумма квадратов диагоналей (правило параллелограмма)

Для любого параллелограмма $A B C D$ сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:

A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})

✓СОВЕТ

Вывод правила параллелограмма через теорему косинусов

Пусть $A B = a,$ $A D = b$ и угол $∠ A = φ .$ Тогда угол $∠ B = 18 0^{\circ} - φ$ (соседние углы параллелограмма в сумме $18 0^{\circ}$ ), значит $cos B = - cos φ .$ По теореме косинусов в треугольниках $A B D$ и $A B C :$

B D^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos φ, A C^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos (18 0^{\circ} - φ) = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos φ .

Складываем — слагаемые с косинусом взаимно уничтожаются:

A C^{2} + B D^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2}) .

Идея «применить теорему косинусов к двум смежным углам и сложить» — типовой приём, его стоит держать в голове даже без заученной формулы.

Если в задаче дан ромб, помни, что центр вписанной в него окружности всегда совпадает с точкой пересечения диагоналей, а радиус этой окружности равен половине высоты ромба.

✎ЗАМЕТКА

Дельтоид (воздушный змей)

Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары соседних сторон равны ( $A B = A D,$ $C B = C D$ ). Его полезные свойства:

Диагонали перпендикулярны (как и у ромба, но стороны не обязаны быть все равны).
Диагональ, соединяющая вершины между равными сторонами ( $A C$ ), является осью симметрии и делит вторую диагональ пополам.
В дельтоид всегда можно вписать окружность (суммы противоположных сторон равны автоматически: $A B + C D = A D + C B$ ).
Площадь: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ (диагонали перпендикулярны).

Внимание: равенство диагоналей у дельтоида возможно, но это не делает его равнобедренной трапецией — см. блок «Частые ошибки».

Биссектрисы углов параллелограмма

ВАЖНОЕ

Биссектрисы соседних углов перпендикулярны

Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом. Как следствие, биссектрисы всех четырёх углов параллелограмма образуют прямоугольник (а если параллелограмм — ромб, они вырождаются в точку).

✓СОВЕТ

Почему так

Соседние углы параллелограмма в сумме дают $18 0^{\circ} .$ Их половины (углы, которые отсекают биссектрисы) в сумме дают $9 0^{\circ} .$ В треугольнике, образованном стороной параллелограмма и двумя биссектрисами, два угла в сумме $9 0^{\circ},$ значит третий угол (между биссектрисами) равен $9 0^{\circ} .$ Это популярный сюжет ДВИ: «докажите, что точки пересечения биссектрис образуют прямоугольник».

Вписанный четырёхугольник и окружность

Это центральный сюжет темы для мехмата и ВМК. Если четырёхугольник вписан в окружность, кроме критерия «сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$ » работают две мощные метрические теоремы.

ВАЖНОЕ

Теорема Птолемея

Для четырёхугольника $A B C D,$ вписанного в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D

В общем случае (для любого выпуклого четырёхугольника) выполняется неравенство Птолемея:

A C \cdot B D ⩽ A B \cdot C D + B C \cdot A D,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник вписанный. Это даёт удобный критерий «лежат ли четыре точки на одной окружности».

Вписанный четырёхугольник: теорема Птолемея

ВАЖНОЕ

Формула Брахмагупты

Площадь четырёхугольника $A B C D$ со сторонами $a, b, c, d,$ вписанного в окружность, выражается через полупериметр $p = \frac{a + b + c + d}{2} :$

S = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)

Это прямое обобщение формулы Герона на четырёхугольник. Важный частный случай: если четырёхугольник одновременно вписанный и описанный (бицентрический), то $a + c = b + d,$ и формула упрощается до

S = ab c d .

Трапеция: ключевые конструкции

Задачи на трапецию — классика ДВИ. Обычного знания формулы площади $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ здесь недостаточно. На экзамене проверяют умение делать правильные дополнительные построения и работать с площадями частей трапеции.

Если в трапеции $A B C D$ проведены диагонали, пересекающиеся в точке $O,$ возникает жёсткая конфигурация:
1. $△ B O C \sim △ A O D .$ Коэффициент подобия равен отношению оснований: $k = \frac{B C}{A D} .$
2. Отношение площадей этих треугольников равно $k^{2} :$ $\frac{S _{B O C}}{S _{A O D}} = (\frac{B C}{A D})^{2} .$
3. Площади боковых треугольников равны: $S_{A O B} = S_{C O D} .$ Более того, $S_{A O B} = S_{B O C} \cdot S_{A O D} .$

Вторая важнейшая конструкция — сдвиг диагонали.

АЛГОРИТМ

Алгоритм: Метод параллельной диагонали

Если в задаче даны длины диагоналей трапеции (или угол между ними), используй это построение:
1. Через вершину $C$ меньшего основания $B C$ проведи прямую, параллельную диагонали $B D .$
2. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $A D$ в точке $E .$
3. Четырёхугольник $B C E D$ — параллелограмм (по определению). Значит, $C E = B D$ и $D E = B C .$
4. Рассмотри $△ A C E .$ Его стороны равны диагоналям трапеции ( $A C$ и $C E$ ), а основание $A E = A D + D E = A D + B C .$
5. Площадь $△ A C E$ в точности равна площади исходной трапеции $A B C D,$ так как у них совпадает высота и сумма оснований.

Примеры

ПРИМЕР 1

Сдвиг диагонали и площадь

Условие. В трапеции длины диагоналей равны $13$ и $15,$ а длина средней линии равна $7 .$ Найди площадь трапеции.

ПРИМЕР 2

Вписанно-описанная трапеция

Условие. Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса $3 .$ Известно, что площадь трапеции равна $45 .$ Найди длины сторон трапеции.

ПРИМЕР 3

Отношение площадей

Условие. Отношение длин диагоналей ромба равно $1 : 2 .$ Найди отношение площади вписанного в этот ромб круга к площади самого ромба.

ПРИМЕР 4

Подобие диагоналей трапеции

Условие. В трапеции $A B C D$ с основаниями $B C$ и $A D$ диагонали пересекаются в точке $O .$ Известно, что площадь треугольника $B O C$ равна $4,$ а площадь треугольника $A O D$ равна $9 .$ Найди площадь трапеции.

ПРИМЕР 5

Теорема Птолемея

Условие. Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Известно, что $A B = 15,$ $B C = 20,$ $C D = 24,$ $A D = 7,$ а диагональ $A C = 25 .$ Найди длину диагонали $B D .$

ПРИМЕР 6

Координатный метод

Условие. Докажи, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ работает рубрика с частичными баллами «±»: за идею и частично доведённое решение ставят неполный балл, за пробелы в обосновании — снимают. Лист формул не выдают, поэтому ключевые шаги нужно либо доказывать, либо честно ссылаться на известную теорему. Ниже — эталон полного решения и список того, за что чаще всего срезают.

АЛГОРИТМ

Эталон полного решения

1. Введи обозначения и зафиксируй данные. «Пусть $A B C D$ — трапеция, $B C = a,$ $A D = b,$ $A B = C D = c$ …». Без этого проверяющий не понимает, что есть что.
2. Обоснуй каждое нетривиальное свойство. Если используешь, что диагонали ромба перпендикулярны или что трапеция равнобедренная, — сошлись на теорему или докажи. Фразы «из рисунка видно», «очевидно, что угол прямой» дают 0 баллов за этот шаг.
3. Делай чертёж, но не опирайся на него как на доказательство. Чертёж — навигатор, а не аргумент. Всё, что взял с рисунка (параллельность, равенство, расположение центра), должно быть доказано текстом.
4. Доведи вычисления до числа и выпиши ответ отдельной строкой.
5. Проверь существование и единственность. Убедись, что фигура с найденными данными реально существует (неравенство треугольника, боковая сторона $>$ высоты, положительность длин) и что других решений нет (или перечисли все случаи).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» — типовой чек-лист

Необоснованное свойство. «Трапеция равнобедренная, значит диагонали равны» — без указания, откуда взялась равнобедренность.
Потерянный случай. Не рассмотрен вариант $a < b$ против $a > b;$ не разобрано, лежит ли центр описанной окружности внутри, вне или на основании.
Нет проверки ОДЗ/существования. Получил $c = 7, 5$ и $h = 6,$ но не отметил, что $c > h,$ поэтому фигура реализуема.
«Из рисунка видно». Любой факт, взятый с чертежа без доказательства.
Применение формулы вне области. Брахмагупта — только для вписанного четырёхугольника; $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α$ для невыпуклого — с оговоркой о точке пересечения.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Расположение центра описанной окружности

Ошибка: при решении задачи о вписанной в окружность трапеции рисовать центр окружности всегда внутри трапеции и опираться на этот рисунок при доказательстве.
Правильно: центр описанной около трапеции окружности может лежать внутри неё, вне её или прямо на большем основании (если оно является диаметром). Расположение зависит от того, является ли угол между диагональю и боковой стороной острым, тупым или прямым. Рассматривай все случаи или доказывай конкретное расположение алгебраически (например, сравнивая высоту трапеции с расстоянием от центра до основания).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница с равнобедренной трапецией

Ошибка: считать, что если диагонали четырёхугольника равны, то это равнобедренная трапеция или прямоугольник.
Правильно: равенство диагоналей само по себе не делает фигуру трапецией. Это может быть произвольный четырёхугольник (например, дельтоид с равными диагоналями). Признак работает только если уже известно, что четырёхугольник — трапеция.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Применимость площади через диагонали

Ошибка: машинально писать $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ для произвольного четырёхугольника, забыв синус, — или применять формулу к невыпуклой фигуре, не глядя на точку пересечения диагоналей.
Правильно: общая формула $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α,$ а $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ без синуса верно лишь при перпендикулярных диагоналях (ромб, квадрат, дельтоид). Для невыпуклого четырёхугольника диагонали могут не пересекаться внутри — формулу применяй, понимая $α$ как угол между прямыми-диагоналями и контролируя знак/расположение.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Брахмагупта и Птолемей — только для вписанного

Ошибка: применять формулу Брахмагупты $S = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)$ или равенство Птолемея $A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D$ к произвольному четырёхугольнику.
Правильно: обе работают только если около четырёхугольника описана окружность. Для произвольного выпуклого четырёхугольника Птолемей даёт лишь неравенство $A C \cdot B D ⩽ A B \cdot C D + B C \cdot A D,$ а площадь по четырём сторонам вообще не определяется однозначно.

Что запомнить

Чертежи могут врать. Если на рисунке прямые кажутся параллельными, а углы прямыми — это нужно строго доказать.
Сумма противоположных сторон — маркер вписанной окружности.
Сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$ — маркер описанной окружности (и равнобедренной трапеции).
Птолемей ( $A C \cdot B D = A B \cdot C D + B C \cdot A D$ ) и Брахмагупта ( $S = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)$ ) — главные метрические теоремы вписанного четырёхугольника; равенство Птолемея ещё и критерий «лежат ли точки на окружности».
Сдвиг диагонали — первый метод, который нужно пробовать в трапеции, если даны диагонали и не даны углы.
Конфигурация диагоналей трапеции: $△ B O C \sim △ A O D$ с $k = \frac{B C}{A D},$ $S_{A O B} = S_{C O D} = S_{B O C} \cdot S_{A O D},$ а вся площадь $= (S_{B O C} + S_{A O D})^{2} .$
Средняя линия $= \frac{a + b}{2}$ (арифметическое), а отрезок через точку пересечения диагоналей $= \frac{2 ab}{a + b}$ (гармоническое) — не путать.
$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α$ работает для любого выпуклого четырёхугольника (а не только для ромба); $α$ — угол между диагоналями.
Координатный метод спасает там, где геометрия путается: введи координаты вершин, считай середины и векторы напрямую.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Обосновывай свойства. Если в задаче получается квадрат или равносторонний треугольник, каждый прямой угол и равенство сторон должны следовать из теорем. За слова «из рисунка видно» на ДВИ ставят $0$ баллов за задачу.
Умей выводить формулы. Листа формул нет: правило параллелограмма выводится теоремой косинусов на двух смежных углах, критерий описанной окружности — через вписанные углы, $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin α$ — разбиением на четыре треугольника. Если формулу попросят доказать или память подведёт — вывод занимает несколько строк.
Ищи подобия. В задачах на трапецию $90%$ решений содержат доказательство подобия треугольников, образованных диагоналями, и работу с коэффициентом подобия. Выписывай отношения сторон сразу, как только увидел диагонали (см. Пример 4).
Четырёхугольник на окружности — думай о Птолемее и Брахмагупте. Как только в условии появилась описанная окружность и заданы стороны или диагонали, это почти всегда сигнал применить одну из двух теорем (см. Пример 5).
Комбинируй алгебру и геометрию. Если геометрическое построение не идёт, введи неизвестные (стороны, отрезки, углы) и составь систему уравнений. Теорема косинусов и теорема Пифагора часто сводят сложную геометрию к простой алгебре. В совсем запутанных конфигурациях ставь фигуру в координаты и считай векторами (см. Пример 6).
Проверяй существование. Прежде чем выписать ответ, убедись, что фигура с найденными размерами существует (неравенство треугольника, боковая сторона больше высоты, положительность длин) и что решение единственно — за пропуск этого шага рубрика «±» снимает балл.

Проверь себя0 из 4

1.В выпуклый четырёхугольник

A B C D

можно вписать окружность тогда и только тогда, когда...

2.Диагонали трапеции пересекаются в точке

O,

S_{B O C} = 1,

S_{A O D} = 16 .

Чему равна площадь трапеции?

3.Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям

a

b,

равен...

4.Четырёхугольник

A B C D

вписан в окружность. Какое равенство утверждает теорема Птолемея?