Алгебраические уравнения — ДВИ

Суть темы и место на ДВИ

Под алгебраическими уравнениями на ДВИ понимают уравнения, левая и правая части которых построены из многочленов, дробей (отношений многочленов), радикалов и модулей — без участия тригонометрии, логарифмов и показательных функций. Сюда входят: квадратные и сводящиеся к ним, целые уравнения высших степеней, дробно-рациональные, иррациональные (с радикалами), биквадратные и трёхчленные, возвратные (симметричные) уравнения 4-й степени, однородные уравнения и уравнения с модулем.

На ДВИ по математике они встречаются как самостоятельные задачи (обычно под номерами 1–3) и как финальный этап решения более сложных уравнений (тригонометрических, логарифмических, показательных): после удачной замены почти любое экзаменационное уравнение «садится» на одно из перечисленных алгебраических.

В отличие от школы, на экзамене в МГУ уравнения часто замаскированы: они требуют не лобового приведения к общему знаменателю, а удачной группировки, применения теоремы Виета, замены переменной блоком, угадывания корня или контроля знака при возведении в степень. Лист формул на ДВИ не выдают — формулу корней квадратного уравнения, теорему Виета и приёмы отбора корней нужно уметь воспроизводить наизусть и обосновывать каждый шаг.

✓СОВЕТ

Карта темы

Прежде чем «считать», классифицируй уравнение:

есть дроби с переменной в знаменателе → дробно-рациональное (ОДЗ + замена блока);
степень $⩾ 3,$ без дробей и радикалов → целое высшей степени (рациональный корень + Горнер/деление уголком);
только чётные степени $x^{4}, x^{2}$ → биквадратное (замена $t = x^{2} ⩾ 0$ );
симметричные коэффициенты ( $a, b, c, b, a$ ) → возвратное (деление на $x^{2},$ замена $y = x + \frac{1}{x}$ );
есть радикалы → иррациональное (возведение в степень + контроль знака);
есть модули → по промежуткам / возведение в квадрат / разность квадратов;
одинаковая степень двух блоков → однородное (деление на старшую степень).

Базовый аппарат: квадратное уравнение (без листа формул)

Поскольку лист формул не выдаётся, зафиксируем фундамент, на котором держится вся тема. Любое квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) решается через дискриминант $D = b^{2} - 4 a c :$

ВАЖНОЕ

Корни квадратного уравнения

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .

$D > 0$ — два различных действительных корня;
$D = 0$ — один корень (двукратный) $x = - \frac{b}{2 a};$
$D < 0$ — действительных корней нет.

Формула получается выделением полного квадрата: $a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{D}{4 a}$ (см. справочник, §1, «Квадратный трёхчлен»). Это полезно помнить как способ самопроверки, если формула вылетела из головы.

Основа алгебры на ДВИ — уверенная работа с квадратным трёхчленом $a x^{2} + b x + c .$ Если корни $x_{1}$ и $x_{2}$ существуют ( $D ⩾ 0$ ), квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители.

ВАЖНОЕ

Разложение на множители

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Квадратный трёхчлен и теорема Виета

Теорема Виета позволяет связывать коэффициенты уравнения с его корнями, не вычисляя сами корни. Это критически важно в задачах с параметрами и в симметрических выражениях.

ВАЖНОЕ

Теорема Виета

Для уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ (при $a \neq = 0$ и $D ⩾ 0$ ):

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Вывод за полстроки: подставив $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a},$ получаем $x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}$ и $x_{1} x_{2} = \frac{b ^{2} - D}{4 a ^{2}} = \frac{4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{c}{a} .$ Уметь воспроизвести этот вывод на ДВИ полезно: проверяющий ценит, что формула не «упала с неба».

Часто в задачах фигурируют суммы квадратов или кубов корней. Их нужно уметь выражать через сумму и произведение, чтобы применить теорему Виета. Запомни эти тождества как готовые блоки:

ВАЖНОЕ

Симметрические многочлены

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = (x_{1} + x_{2}) ((x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2})

(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}

Потяните a, b, c — посмотрите, как коэффициенты трёхчлена двигают вершину и корни

Уравнения высших степеней

Уравнения степени выше второй в общем виде не решаются школьными формулами. Если перед тобой кубическое уравнение (или выше) и не работает метод группировки, рабочий способ — угадать один корень и понизить степень, разделив многочлен на скобку $(x - x_{0})$ (делением «уголком» или схемой Горнера).

Где искать корень: рациональная теорема о корнях

Точку опоры даёт теорема о рациональных корнях — её надо знать в полной (не только приведённой) форме.

ВАЖНОЕ

Рациональные корни многочлена

Пусть многочлен $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ имеет целые коэффициенты. Если несократимая дробь $\frac{p}{q}$ — его корень, то

p ∣ a_{0} (числитель делит свободный член), q ∣ a_{n} (знаменатель делит старший коэффициент) .

Важное частное «приведённое» следствие: если старший коэффициент $a_{n} = 1,$ то $q ∣ 1,$ значит $q = \pm 1$ и любой рациональный корень целый — его ищут среди делителей свободного члена $a_{0} .$ Именно этот случай чаще всего и встречается, но на ДВИ попадаются и немонические уравнения вида $2 x^{3} + \dots,$ где корень может оказаться дробью $\frac{p}{q}$ — тогда без полной теоремы корень не найти.

Схема Горнера

Деление уголком надёжно, но под цейтнот ДВИ удобнее схема Горнера — она за один проход и проверяет, корень ли число $x_{0},$ и сразу выдаёт коэффициенты частного.

ВАЖНОЕ

Схема Горнера

Для $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ и кандидата $x_{0}$ строим строку $b_{k} :$

b_{n} = a_{n}, b_{k} = a_{k} + x_{0} b_{k + 1} (k = n - 1, \dots, 0) .

Тогда $P (x) = (x - x_{0}) (b_{n} x^{n - 1} + b_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + b_{1}) + b_{0},$ где $b_{0} = P (x_{0})$ — остаток.
Если $b_{0} = 0,$ то $x_{0}$ — корень, а $b_{n}, \dots, b_{1}$ — коэффициенты частного.

Это та же теорема Безу ( $P (x)$ делится на $(x - x_{0})$ $⟺ P (x_{0}) = 0,$ см. справочник §1), записанная в виде удобной таблицы.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

АЛГОРИТМ

Как подходить к дробно-рациональному уравнению

1. Выпиши ОДЗ (область допустимых значений): все знаменатели не равны нулю.
2. Ищи замену переменной. Если видишь повторяющиеся комбинации (например, $x^{2} + 3 x$ или $x + \frac{1}{x}$ ), обозначь их новой буквой. Это снизит степень уравнения.
3. Перенеси всё в одну сторону. Уравнение должно принять вид $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = 0 .$
4. Приведи к общему знаменателю. Раскрой скобки в числителе и приведи подобные слагаемые.
5. Реши уравнение $P (x) = 0 .$ Разложи числитель на множители: группировкой, формулами сокращённого умножения или угадыванием корня.
6. Отбор корней. Проверь найденные корни по ОДЗ (или подставь в знаменатель $Q (x) \neq = 0$ ).

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Это центральный и самый «опасный» подтип на ДВИ: при возведении в чётную степень уравнение перестаёт быть равносильным — могут появиться посторонние корни, а при неаккуратном делении — потеряться нужные. Ключевой принцип: радикал чётной степени неотрицателен, поэтому возведение в квадрат разрешено только когда обе части одного знака.

ВАЖНОЕ

Равносильные переходы для квадратного корня

f (x) = g (x) ⟺ {f (x) = g^{2} (x) g (x) ⩾ 0 f (x) = g (x) ⟺ {f (x) = g (x) f (x) ⩾ 0

Условие $f (x) ⩾ 0$ в первом случае выполнится автоматически (оно следует из $f = g^{2} ⩾ 0$ ), а вот условие $g (x) ⩾ 0$ отбрасывать нельзя — именно оно отсеивает посторонние корни. Подробные схемы — см. справочник, §4 «Иррациональные уравнения».

Три рабочих метода:

Возведение в степень с контролем знака правой части. Изолируй радикал, потребуй $g (x) ⩾ 0,$ возведи в квадрат, реши, отбери корни по знаковому условию (или прямой подстановкой).
Замена $t = выражение (t ⩾ 0)$ — когда под корнем и вне корня стоит одно и то же выражение. Сводит к квадратному относительно $t .$
Домножение на сопряжённое — для уравнений с разностью/суммой двух радикалов: $(A - B) (A + B) = A - B$ убирает корни (см. справочник, §1 «Иррациональности»).

ПРИМЕР 4

Один радикал: возведение в квадрат + контроль знака

Реши уравнение $2 x - 1 = x - 2 .$

ПРИМЕР 5

Два радикала

Реши уравнение $3 x + 1 - x + 4 = 1 .$

ПРИМЕР 6

Замена

t = x

Реши уравнение $x - 5 x + 6 = 0 .$

Биквадратные и трёхчленные уравнения

Уравнение, содержащее только чётные степени, $a x^{4} + b x^{2} + c = 0,$ называют биквадратным. Замена $t = x^{2}$ при обязательном условии $t ⩾ 0$ сводит его к квадратному. Тот же приём — для любого «трёхчленного» уравнения вида $a f^{2} (x) + b f (x) + c = 0$ с заменой $t = f (x) .$

Меняй a, b и c: график остаётся симметричным относительно Oy, а число действительных корней меняется.

ПРИМЕР 7

Биквадратное уравнение

Реши уравнение $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не теряй условие

t ⩾ 0

Если после замены $t = x^{2}$ получится, например, $t = - 1,$ обратной замены нет: уравнение $x^{2} = - 1$ действительных корней не имеет. Отрицательные значения $t$ нужно отбрасывать сразу — это типичная потеря балла на «лишних» корнях.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-й степени

Уравнение $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0$ называют возвратным (коэффициенты симметричны: $a, b, c, b, a$ ). Конспект сам обещает: «если получается многочлен 4-й степени без явных корней — ищи замену». Вот эта замена.

Поскольку $x = 0$ не корень (при $a \neq = 0$ свободный член $a \neq = 0$ ), можно разделить обе части на $x^{2}$ без потери корней:

a (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) + b (x + \frac{1}{x}) + c = 0.

Введём $y = x + \frac{1}{x} .$ Тогда $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2,$ и уравнение становится квадратным относительно $y .$

График функции y = x + 1/x на координатной плоскости

ВАЖНОЕ

Замена в возвратном уравнении

y = x + \frac{1}{x}, x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2.

Ограничение области: для действительных $x \neq = 0$ значение $y = x + \frac{1}{x}$ удовлетворяет $∣ y ∣ ⩾ 2$ (по неравенству о средних: $x > 0 \Rightarrow y ⩾ 2,$ $x < 0 \Rightarrow y ⩽ - 2$ ).

ПРИМЕР 8

Возвратное уравнение 4-й степени

Реши уравнение $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на

x^{2}

и потеря

x = 0

Делить обе части на $x^{2}$ можно только убедившись, что $x = 0$ не корень (подставь: свободный член должен быть $\neq = 0$ ). Если $x = 0$ — корень, его надо записать отдельно, а делить уже на остаток. Игнорировать этот шаг — типичная потеря корня.

Однородные уравнения

Уравнение называют однородным относительно двух выражений $u = u (x)$ и $v = v (x),$ если все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень по $u$ и $v :$

A u^{2} + B uv + C v^{2} = 0.

Метод: разделить на старшую степень одного из выражений (скажем, на $v^{2},$ проверив отдельно случай $v = 0$ ) и ввести $t = \frac{u}{v}$ — получится квадратное уравнение $A t^{2} + B t + C = 0 .$

ПРИМЕР 9

Однородное уравнение

Реши уравнение $2 (x - 1)^{2} - 5 (x - 1) (x + 1) + 2 (x + 1)^{2} = 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на выражение с переменной

В однородных уравнениях и при делении на $x^{2}$ (возвратные) всегда проверяй отдельно случай, когда делитель обращается в ноль. Иначе можно молча выкинуть корень — за это снимают балл, даже если итоговый набор «частично» совпал.

Уравнения с модулем

Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения: $∣ t ∣ = t$ при $t ⩾ 0$ и $∣ t ∣ = - t$ при $t < 0 .$ Основные приёмы:

По промежуткам: найти нули подмодульных выражений, разбить ось на промежутки, на каждом раскрыть модули по их знаку, решить и пересечь с промежутком, затем объединить ответы.
Возведение в квадрат: $∣ f ∣ = g ⟺ {f^{2} = g^{2} g ⩾ 0$ (правая часть — модуль, она неотрицательна).
Разность квадратов: $∣ f ∣ = ∣ g ∣ ⟺ (f - g) (f + g) = 0$ (см. справочник, §4).

ПРИМЕР 10

Уравнение с модулем

Реши уравнение $∣ x^{2} - 4∣ = x + 2 .$

Координатная плоскость с двумя графиками

Примеры решений (классические методы)

Начнём с классического метода замены переменной целым блоком.

ПРИМЕР 1

Замена переменной

Реши уравнение $\frac{2}{x ^{2} - 4 x} - \frac{4}{x ^{2} - 4 x + 3} = 1 .$

Следующий пример иллюстрирует работу с кубическими многочленами, где лобовая группировка не срабатывает.

ПРИМЕР 2

Угадывание корня, деление уголком и схема Горнера

Реши уравнение $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0 .$

Следующий пример показывает, что та же схема Горнера выручает и в немоническом случае, когда корень оказывается дробным.

ПРИМЕР 11

Немоническое уравнение: рациональный корень

\frac{p}{q}

Реши уравнение $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0 .$

Следующий пример демонстрирует типичную задачу ДВИ на стыке алгебраических преобразований и теоремы Виета. Здесь требуется высокая математическая культура.

ПРИМЕР 3

Теорема Виета и симметрические многочлены

Найдите все значения $a,$ при которых модуль разности кубов корней уравнения $x^{2} - a x + 2 = 0$ равен $7 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сокращение дроби без учёта ОДЗ

Ошибка: Решая $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 0,$ сократить числитель и знаменатель и получить $x + 1 = 0 ⟹ x = - 1 .$ На первый взгляд ответ верный, но если решать $\frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x - 1} = 0,$ после сокращения получишь $x - 1 = 0 ⟹ x = 1,$ что является посторонним корнем.
Правильно: В рациональных уравнениях всегда сначала приравнивай к нулю числитель, находи его корни, а затем обязательно проверяй, не обращается ли знаменатель при этих корнях в ноль.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Применение теоремы Виета без проверки дискриминанта

Ошибка: Написать систему Виета для уравнения $x^{2} + 5 x + 10 = 0$ и пытаться искать сумму квадратов корней.
Правильно: Теорема Виета описывает свойства существующих корней. В задачах с параметром (как в Примере 3) всегда выписывай условие $D ⩾ 0 .$ Иначе можно найти значения параметра, при которых корней вообще нет, но формальные алгебраические равенства выполняются.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Возведение в чётную степень без контроля знака

Ошибка: В уравнении $2 x - 1 = x - 2$ возвести в квадрат и записать в ответ оба корня $x^{2} - 6 x + 5 = 0,$ то есть $1$ и $5 .$
Правильно: При возведении в квадрат уравнение перестаёт быть равносильным. Радикал слева неотрицателен, поэтому обязательно условие $x - 2 ⩾ 0;$ корень $x = 1$ ему не удовлетворяет (для него правая часть отрицательна) и является посторонним. Всегда отбирай корни по знаковому условию или прямой подстановкой.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря области при замене

y = x + \frac{1}{x}

Ошибка: В возвратном уравнении получить $y = 1$ и записать корни уравнения $x + \frac{1}{x} = 1,$ то есть $x^{2} - x + 1 = 0 .$
Правильно: Для действительных $x \neq = 0$ всегда $∣ y ∣ ⩾ 2 .$ Значение $y = 1$ недопустимо — уравнение $x^{2} - x + 1 = 0$ имеет $D < 0$ и действительных корней не даёт. Прежде чем делать обратную замену, отбрось значения $y$ с $∣ y ∣ < 2 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря корня при делении на выражение с переменной

Ошибка: В возвратном или однородном уравнении сразу разделить на $x^{2}$ (или на $v^{2}$ ), не проверив, не является ли $x = 0$ (или $v = 0$ ) корнем.
Правильно: Деление на выражение, которое может обращаться в ноль, теряет корни. Сначала подстановкой убедись, что обнуляющее значение не корень; если корень — выпиши его отдельно, и лишь затем дели.

Оформление под рубрику ДВИ

ДВИ оценивается по outcomes-рубрике с частичными баллами («±»): важен не только финальный ответ, но и полнота обоснований. Лист формул не выдают, поэтому всё применяемое нужно либо сформулировать, либо вывести.

✓СОВЕТ

Эталон полного решения (на примере иррационального уравнения)

Задача. Решить $2 x - 1 = x - 2 .$

1. Область / условие знака. Левая часть $⩾ 0,$ значит необходимо $x - 2 ⩾ 0,$ т. е. $x ⩾ 2 .$
2. Равносильный переход. При $x ⩾ 2$ обе части неотрицательны — возводим в квадрат: $2 x - 1 = (x - 2)^{2} .$
3. Решение. $x^{2} - 6 x + 5 = 0,$ $D = 16,$ $x_{1, 2} = \frac{6 \pm 4}{2} = 1; 5 .$
4. Отбор корней. По условию $x ⩾ 2$ корень $x = 1$ посторонний; остаётся $x = 5 .$
5. Проверка. $9 = 3 = 5 - 2 .$ Ответ: $5 .$

Каждый пункт — отдельный смысловой шаг; пропуск любого из них (особенно 1 и 4) рубрика трактует как неполноту.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают балл

Нет проверки ОДЗ / отбора корней. В дробно-рациональных — не проверил знаменатель; в иррациональных — не отсёк посторонний корень. Снимается балл даже при верном «черновом» наборе.
«Угадал корень» без обоснования. Фраза «очевидно, $x = 1$ » не засчитывается. Пиши: «Подстановкой убеждаемся, что $x = 1$ — корень».
Потеря корня при делении на переменную (возвратные, однородные) — частичный балл, набор корней неполный.
Не доказана единственность. Если в кубическом по $t$ остаётся квадратный трёхчлен, нужно явно показать $D < 0$ или его положительность на области — иначе «забытые» корни считаются недоработкой.
Не указано ограничение области замены ( $t ⩾ 0$ для $t = x^{2}$ и $t = \cdot;$ $∣ y ∣ ⩾ 2$ для $y = x + \frac{1}{x}$ ).

Что запомнить

Сначала классифицируй уравнение (см. «Карта темы»), потом выбирай метод — это экономит время и спасает от тупиковых преобразований.
Если уравнение выше второй степени и не группируется — ищи рациональный корень $\frac{p}{q}$ ( $p ∣$ свободный член, $q ∣$ старший) и понижай степень схемой Горнера или делением уголком.
В дробно-рациональных не спеши приводить монструозные дроби к общему знаменателю: сначала поищи замену повторяющегося блока, и не забудь ОДЗ.
В иррациональных — возведение в чётную степень только при контроле знака; всегда отбирай корни.
В возвратных и биквадратных — замены $y = x + \frac{1}{x}$ ( $∣ y ∣ ⩾ 2$ ) и $t = x^{2}$ ( $t ⩾ 0$ ); в однородных — деление на старшую степень с проверкой нуля.
Любое симметрическое выражение от двух корней (квадраты, кубы, модули разностей) выражается через их сумму и произведение.

Стратегия на ДВИ

✓СОВЕТ

Экзаменационная тактика

Задачи на алгебраические уравнения на ДВИ никогда не сводятся к слепому перемножению скобок. Если в процессе получается многочлен 4-й или 5-й степени без явных корней — ты свернул не туда: проверь, не возвратное ли оно (замена $y = x + \frac{1}{x}$ ), не биквадратное ли (замена $t = x^{2}$ ), нет ли повторяющегося блока.
При отборе корней в дробно-рациональных уравнениях подставлять иррациональные корни в исходный знаменатель часто мучительно. Вместо этого реши знаменатель как уравнение $Q (x) = 0$ и убедись, что его корни не совпадают с корнями числителя.
В иррациональных уравнениях держи в голове: посторонние корни приходят от возведения в чётную степень, потерянные — от деления на выражение с переменной. Контролируй оба источника.
Обосновывай каждый шаг. Фраза «очевидно, корень $x = 1$ » на ДВИ не работает. Пиши: «Подстановкой убеждаемся, что $x = 1$ является корнем уравнения. Разделим левую часть на $(x - 1)$ схемой Горнера...».

Проверь себя0 из 4

1.Уравнение

f (x) = g (x)

равносильно системе...

2.При замене

y = x + \frac{1}{x}

(для действительных

x \neq = 0

) какие значения

y

возможны?

3.У многочлена

2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2

с целыми коэффициентами рациональный корень

\frac{p}{q}

(несократимая дробь) обязан удовлетворять...

4.Для корней

x_{1}, x_{2}

квадратного уравнения верно

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \dots