Суть темы и место на ДВИ

Рациональные уравнения — это уравнения, обе части которых представляют собой суммы отношений многочленов (в простейшем случае — просто многочлены). На ДВИ по математике они встречаются как самостоятельные задачи (обычно под номерами 1–3) и как финальный этап решения более сложных уравнений (тригонометрических, логарифмических, показательных).

В отличие от школы, на экзамене в МГУ уравнения часто замаскированы: они требуют не лобового приведения к общему знаменателю, а удачной группировки, применения теоремы Виета, замены переменной блоком или искусственного угадывания корня.

Квадратный трёхчлен и теорема Виета

Основа алгебры на ДВИ — уверенная работа с квадратным трёхчленом $a x^{2} + b x + c .$ Если корни $x_{1}$ и $x_{2}$ существуют ( $D ⩾ 0$ ), квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Разложение на множители

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Теорема Виета позволяет связывать коэффициенты уравнения с его корнями, не вычисляя сами корни. Это критически важно в задачах с параметрами и в симметрических выражениях.

Теорема Виета

Для уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ (при $a \neq = 0$ и $D ⩾ 0$ ):

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Часто в задачах фигурируют суммы квадратов или кубов корней. Их нужно уметь выражать через сумму и произведение, чтобы применить теорему Виета. Запомни эти тождества как готовые блоки:

Симметрические многочлены

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = (x_{1} + x_{2}) ((x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2})

(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}

Уравнения высших степеней

Уравнения степени выше второй в общем виде не решаются школьными формулами. Если перед тобой кубическое уравнение (или выше) и не работает метод группировки, единственный способ — угадать один корень и разделить многочлен «уголком».

Если уравнение $x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ (со старшим коэффициентом 1 и целыми остальными коэффициентами) имеет целые корни, то они обязательно являются делителями свободного члена $a_{0} .$ Угадав корень $x = x_{0},$ ты можешь разделить исходный многочлен на скобку $(x - x_{0})$ без остатка.

Алгоритм решения рациональных уравнений

Как подходить к дробно-рациональному уравнению

1. Выпиши ОДЗ (область допустимых значений): все знаменатели не равны нулю.
2. Ищи замену переменной. Если видишь повторяющиеся комбинации (например, $x^{2} + 3 x$ или $x + \frac{1}{x}$ ), обозначь их новой буквой. Это снизит степень уравнения.
3. Перенеси всё в одну сторону. Уравнение должно принять вид $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = 0 .$
4. Приведи к общему знаменателю. Раскрой скобки в числителе и приведи подобные слагаемые.
5. Реши уравнение $P (x) = 0 .$ Разложи числитель на множители: группировкой, формулами сокращённого умножения или угадыванием корня.
6. Отбор корней. Проверь найденные корни по ОДЗ (или подставь в знаменатель $Q (x) \neq = 0$ ).

Примеры решений

Начнём с классического метода замены переменной целым блоком.

Пример 1. Замена переменной

Реши уравнение $\frac{2}{x ^{2} - 4 x} - \frac{4}{x ^{2} - 4 x + 3} = 1 .$

Показать решение

В знаменателях есть повторяющийся блок $x^{2} - 4 x .$ Введём новую переменную $t = x^{2} - 4 x .$ Тогда уравнение примет вид:

\frac{2}{t} - \frac{4}{t + 3} = 1

Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю (при условии $t \neq = 0,$ $t \neq = - 3$ ):

\frac{2 ( t + 3 ) - 4 t - t ( t + 3 )}{t ( t + 3 )} = 0

\frac{2 t + 6 - 4 t - t ^{2} - 3 t}{t ( t + 3 )} = 0

\frac{- t ^{2} - 5 t + 6}{t ( t + 3 )} = 0 ⟺ \frac{t ^{2} + 5 t - 6}{t ( t + 3 )} = 0

Числитель равен нулю: $t^{2} + 5 t - 6 = 0 .$ По теореме Виета корни $t_{1} = 1$ и $t_{2} = - 6 .$ Оба значения удовлетворяют условию $t \neq = 0$ и $t \neq = - 3 .$

Сделаем обратную замену:
1) $x^{2} - 4 x = 1 ⟺ x^{2} - 4 x - 1 = 0 .$
Дискриминант $D = 16 - 4 (- 1) = 20 .$ Корни: $x = \frac{4 \pm 20}{2} = 2 \pm 5 .$

2) $x^{2} - 4 x = - 6 ⟺ x^{2} - 4 x + 6 = 0 .$
Дискриминант $D = 16 - 24 = - 8 < 0 .$ Действительных корней нет.

Ответ: $2 \pm 5 .$

Следующий пример иллюстрирует работу с кубическими многочленами, где лобовая группировка не срабатывает.

Пример 2. Угадывание корня и деление уголком

Реши уравнение $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0 .$

Показать решение

Группировка слагаемых здесь не даёт общего множителя. Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (числа 6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 .$

Проверяем $x = 1 :$
$1^{3} - 2 (1)^{2} - 5 (1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 .$
Бинго! Корень найден. Значит, многочлен левой части делится нацело на $(x - 1) .$

Выполним деление «уголком»:
$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ делим на $x - 1 .$

Берём по $x^{2} :$ вычитаем $x^{2} (x - 1) = x^{3} - x^{2} .$ Остаток $- x^{2} - 5 x + 6 .$
Берём по $- x :$ вычитаем $- x (x - 1) = - x^{2} + x .$ Остаток $- 6 x + 6 .$
Берём по $- 6 :$ вычитаем $- 6 (x - 1) = - 6 x + 6 .$ Остаток 0.

Получаем разложение:

(x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0

Осталось решить квадратное уравнение $x^{2} - x - 6 = 0 .$ По теореме Виета его корни $x = 3$ и $x = - 2 .$

Ответ: $- 2; 1; 3 .$

Третий пример демонстрирует типичную задачу ДВИ на стыке алгебраических преобразований и теоремы Виета. Здесь требуется высокая математическая культура.

Пример 3. Теорема Виета и симметрические многочлены

Найдите все значения $a,$ при которых модуль разности кубов корней уравнения $x^{2} - a x + 2 = 0$ равен $7 .$

Показать решение

Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни уравнения. По условию $∣ x_{1}^{3} - x_{2}^{3} ∣ = 7 .$
Корни существуют, если дискриминант неотрицателен:
$D = a^{2} - 8 ⩾ 0 ⟹ a^{2} ⩾ 8 .$

Разложим разность кубов:
$∣ x_{1}^{3} - x_{2}^{3} ∣ = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ \cdot (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) .$

Выразим обе скобки через сумму и произведение корней, используя теорему Виета ( $x_{1} + x_{2} = a$ и $x_{1} x_{2} = 2$ ):
1. Выражение под модулем можно найти через квадрат:
$(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = a^{2} - 8 .$
Следовательно, $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = a^{2} - 8 .$
2. Вторая скобка всегда положительна:
$x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - x_{1} x_{2} = a^{2} - 2 .$

Подставляем в исходное условие:
$a^{2} - 8 \cdot (a^{2} - 2) = 7 .$

Возведём обе части в квадрат (обе части неотрицательны, переходы равносильны):
$(a^{2} - 8) (a^{2} - 2)^{2} = 49 .$

Введём замену $t = a^{2} - 2 .$ Так как $a^{2} ⩾ 8,$ то $t ⩾ 6 .$
Уравнение примет вид:
$(t - 6) t^{2} = 49 ⟺ t^{3} - 6 t^{2} - 49 = 0 .$

Ищем корень кубического уравнения среди делителей 49. Проверяем $t = 7 :$
$7^{3} - 6 \cdot 7^{2} - 49 = 343 - 294 - 49 = 0 .$
Корень $t = 7$ подходит. Поделив многочлен на $(t - 7)$ уголком, получим:
$(t - 7) (t^{2} + t + 7) = 0 .$

Поскольку $t ⩾ 6,$ квадратный трёхчлен $t^{2} + t + 7$ строго положителен и корней не даёт (его собственный дискриминант $1 - 28 < 0$ ).
Единственное решение: $t = 7 .$

Делаем обратную замену:
$a^{2} - 2 = 7 ⟹ a^{2} = 9 ⟹ a = \pm 3 .$
Условие $a^{2} ⩾ 8$ (существование корней) выполнено.

Ответ: $\pm 3 .$

Частые ошибки

Сокращение дроби без учёта ОДЗ

Ошибка: Решая $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 0,$ сократить числитель и знаменатель и получить $x + 1 = 0 ⟹ x = - 1 .$ На первый взгляд ответ верный, но если решать $\frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x - 1} = 0,$ после сокращения получишь $x - 1 = 0 ⟹ x = 1,$ что является посторонним корнем.
Правильно: В рациональных уравнениях всегда сначала приравнивай к нулю числитель, находи его корни, а затем обязательно проверяй, не обращается ли знаменатель при этих корнях в ноль.

Применение теоремы Виета без проверки дискриминанта

Ошибка: Написать систему Виета для уравнения $x^{2} + 5 x + 10 = 0$ и пытаться искать сумму квадратов корней.
Правильно: Теорема Виета описывает свойства существующих корней. В задачах с параметром (как в Примере 3) всегда выписывай условие $D ⩾ 0 .$ Иначе можно найти значения параметра, при которых корней вообще нет, но формальные алгебраические равенства выполняются.

Что запомнить

Если уравнение выше второй степени и не группируется — ищи целый корень среди делителей свободного члена и дели на скобку уголком.
В рациональных уравнениях не спеши приводить монструозные дроби к общему знаменателю: сначала поищи замену повторяющегося блока.
Любое симметрическое выражение от двух корней (квадраты, кубы, модули разностей) можно выразить через их сумму и произведение.

Стратегия на ДВИ

Экзаменационная тактика

Задачи на решение рациональных уравнений на ДВИ никогда не сводятся к слепому перемножению скобок. Если в процессе решения получается многочлен 4-й или 5-й степени без явных корней — ты свернул не туда. Вернись на шаг назад и ищи замену.
При отборе корней в дробно-рациональных уравнениях подставлять найденные иррациональные корни в исходный знаменатель часто бывает мучительно. Вместо этого решай знаменатель как уравнение $Q (x) = 0$ и убеждайся, что его корни не совпадают с корнями числителя.
Обосновывай каждый шаг. Фраза «очевидно, корень $x = 1$ » на ДВИ не работает. Пиши: «Подстановкой убеждаемся, что $x = 1$ является корнем уравнения. Разделим левую часть на $(x - 1)$ уголком...».