Алгебраические преобразования — ДВИ

Суть темы: тождественные преобразования на ДВИ

В заданиях ДВИ МГУ алгебра и тригонометрия редко существуют изолированно. Часто в одном уравнении (обычно это номера 1 или 4) требуется применить формулы сокращённого умножения (ФСУ), сгруппировать слагаемые, раскрыть модуль, рационализировать иррациональность, свернуть логарифмы и выполнить тригонометрические преобразования.

Лист со справочными материалами на экзамене не выдают. Все ключевые тождества — от базовых ФСУ до формул понижения степени, суммы тригонометрических функций и свойств логарифмов — необходимо выводить или помнить наизусть. Главный критерий успешного решения на ДВИ — равносильность переходов и строгий контроль ОДЗ: на каждом преобразовании проверяющий смотрит, не появились ли посторонние корни и не потерялись ли существующие.

Этот конспект устроен «снизу вверх»: сначала собственно алгебраические преобразования (дроби, степени и корни, логарифмы, многочлены), затем мост к тригонометрии, и в конце — сквозные методы, разбор ошибок и эталон оформления под рубрику ДВИ.

Этот конспект — рабочая тетрадь с разобранными примерами. Сжатый перечень всех формул без выводов лежит в справочнике ДВИ — туда удобно заглядывать, когда нужна сама формула, а не её применение.

Часть I. Алгебраические преобразования

1.1. Формулы сокращённого умножения — рабочий инструмент

Это фундамент, который на ДВИ используют не как «факт из учебника», а как ежедневный приём свёртки и разложения. Их нужно узнавать в обе стороны.

ВАЖНОЕ

Базовые ФСУ

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2} (a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

ВАЖНОЕ

Производные ФСУ для симметричных выражений

Через выделение полного квадрата (запоминать именно как « $(a + b)^{2}$ минус удвоенное произведение»):

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab

a^{4} + b^{4} = (a^{2} + b^{2})^{2} - 2 a^{2} b^{2}

Полезно и тождество

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a),

из которого при $a + b + c = 0$ сразу следует $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 ab c .$

✓СОВЕТ

Где это «выстреливает»

$a^{2} - b^{2}$ часто прячут: выражение $(cos x - sin x) (cos x + sin x)$ — это $cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x .$
Выделение полного квадрата $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ превращает «два разных квадрата» в одно выражение через сумму и произведение — основа замены $t = a + b .$
Сумма кубов $a^{3} + b^{3}$ почти всегда раскладывается, чтобы что-то сократить (см. Пример 2 в Части III).

ПРИМЕР A1

выделение полного квадрата

Упростите: $\frac{a ^{4} + a ^{2} + 1}{a ^{2} + a + 1}$ при допустимых $a .$

1.2. Рациональные дроби

Главные приёмы: приведение к общему знаменателю, сокращение с контролем ОДЗ, выделение целой части.

АЛГОРИТМ

Работа с рациональной дробью

1. Сначала ОДЗ. Выпиши все условия «знаменатель $\neq = 0$ » до любых сокращений. Сокращение скрывает запрет, но не отменяет его.
2. Разложи числитель и знаменатель на множители (ФСУ, теорема Виета, группировка).
3. Сократи общий множитель. Если сократил $(x - x_{0}),$ точка $x = x_{0}$ всё равно остаётся выколотой.
4. Приведи к общему знаменателю при сложении дробей; не теряй знаки.
5. Выдели целую часть делением, если степень числителя $⩾$ степени знаменателя.

ПРИМЕР A2

упрощение громоздкой дроби

Упростите выражение

(\frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) : \frac{4 x}{x ^{2} - 4} .

1.3. Степени и корни. Иррациональности

ВАЖНОЕ

Свойства степеней

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}, \frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}, (a^{x})^{y} = a^{x y}, (ab)^{x} = a^{x} b^{x}, a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}

a^{m / n} = n a^{m} (a > 0), a^{0} = 1 (a > 0) .

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Корень чётной степени даёт модуль

a^{2} = ∣ a ∣, 2 n a^{2 n} = ∣ a ∣.

Это самая частая алгебраическая потеря балла на ДВИ. Писать $a^{2} = a$ без оговорки знака — ошибка. Корень нечётной степени, наоборот, определён для любого знака: $3 - 8 = - 2 .$

ВАЖНОЕ

Рационализация: домножение на сопряжённое

\frac{1}{a \pm b} = \frac{a \mp b}{a - b}, \frac{1}{a \pm b} = \frac{a \mp b}{a - b ^{2}} .

Свёртка двойного радикала (когда $A^{2} - C$ — точный квадрат): подбираем $x + y = A, 4 x y = C$ и пишем

A \pm C = x \pm y (при x ⩾ y ⩾ 0) .

ПРИМЕР A3

рационализация знаменателя

Упростите: $\frac{1}{3 - 2} + \frac{1}{3 + 2} .$

ПРИМЕР A4

свёртка двойного радикала

Упростите: $7 + 43 .$

1.4. Логарифмы

На ДВИ без листа формул переход к новому основанию и свойства логарифма надо помнить вместе с точными условиями — именно условия чаще всего и проверяет рубрика.

ВАЖНОЕ

Свойства логарифмов (с условиями)

Для $a > 0, a \neq = 1, b > 0, c > 0 :$

lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c, lo g_{a} \frac{b}{c} = lo g_{a} b - lo g_{a} c, lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b .

Степень основания и переход:

lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b, a^{l o g_{a} b} = b, lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}, lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a} .

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Модуль в логарифме — только при чётной степени

Тождество $lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b$ верно при $b > 0$ . При работе на расширенной области:

lo g_{a} b^{2 k} = 2 k lo g_{a} ∣ b ∣ (b \neq = 0)

— модуль появляется только для чётного показателя $2 k .$ Для нечётного $n$ писать $lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} ∣ b ∣$ нельзя: при $b < 0$ левая часть не определена, а правая определена — переход расширяет ОДЗ и порождает посторонние корни. Аналогично $lo g_{a} (b c) = lo g_{a} ∣ b ∣ + lo g_{a} ∣ c ∣$ допустимо только при $b c > 0$ .

ПРИМЕР A5

преобразование логарифмического выражения

Вычислите: $lo g_{2} 6 \cdot lo g_{6} 8 .$

ПРИМЕР A6

смена основания и условия

Упростите при $x > 0, x \neq = 1 :$ $\frac{1}{lo g _{2} x} + \frac{1}{lo g _{3} x} + \frac{1}{lo g _{5} x} .$

1.5. Многочлены: деление, теорема Безу, схема Горнера

ВАЖНОЕ

Теорема Безу и следствия

Остаток от деления $P (x)$ на $(x - a)$ равен $P (a) .$ Значит:

(x - a) ∣ P (x) ⟺ P (a) = 0.

Теорема о рациональных корнях: если несократимая дробь $\frac{p}{q}$ — корень целочисленного многочлена, то $p$ делит свободный член, $q$ — старший коэффициент. Для приведённого многочлена (старший коэффициент $= 1$ ) всякий рациональный корень целый.

Схема Горнера — быстрое деление на $(x - a)$ за один проход. Для $P (x) = c_{n} x^{n} + \dots + c_{0}$ выписываем коэффициенты в строку; первый сносим, дальше каждый следующий = (предыдущий результат) $\cdot a$ + (текущий коэффициент). Последнее число — остаток $P (a) .$

ПРИМЕР A7

разложение кубического многочлена

Разложите на множители: $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 .$

1.6. Квадратный трёхчлен и симметрические выражения

ВАЖНОЕ

Квадратный трёхчлен

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}), x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}, D = b^{2} - 4 a c .

Выделение полного квадрата (вершина):

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + (c - \frac{b ^{2}}{4 a}) .

Теорема Виета ( $a \neq = 0, D ⩾ 0$ ): $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$
Симметрические комбинации:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}, x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) ((x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2}) .

✓СОВЕТ

Замена

t = x + \frac{1}{x}

для симметрических уравнений

Для возвратного уравнения $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0$ делим на $x^{2}$ и вводим $t = x + \frac{1}{x},$ тогда $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2 .$ Ограничение: для вещественных $x \neq = 0$ верно $∣ t ∣ ⩾ 2$ (по неравенству $x + \frac{1}{x} ⩾ 2$ ). Это прямой алгебраический аналог тригонометрической замены $t = sin x \pm cos x$ из Части III.

ПРИМЕР A8

возвратное уравнение заменой

t = x + 1/ x

Решите: $x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 1 = 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Алгебраические ловушки ОДЗ

Сокращение дроби удаляет точку из области: $\frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 1}$ равно $x + 2$ только при $x \neq = 1$ .
Деление на выражение, которое может обратиться в ноль (на $x,$ на $cos x,$ на $(x - a)$ ), требует отдельного разбора случая «делитель $= 0$ » — иначе теряются корни.
Свойство $ab = a b$ верно только при $a ⩾ 0, b ⩾ 0$ . При $a, b < 0$ слева корень определён, справа — нет.
Возведение в квадрат иррационального уравнения — неравносильный переход: появляются посторонние корни. Нужна либо проверка, либо равносильная система $f = g ⟺ {f = g^{2}, g ⩾ 0} .$

Часть II. Мост к тригонометрии: ФСУ внутри тождеств

Алгебраические ФСУ из Части I напрямую порождают тригонометрические «блоки», которые постоянно встречаются на экзамене. Покажем вывод — на ДВИ без листа формул использование готовой блочной формулы без вывода может стоить балла.

ВАЖНОЕ

Вывод блоков чётных степеней

sin^{4} x + cos^{4} x = (sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x .

Так как $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x,$ то $2 sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1}{2} sin^{2} 2 x,$ и

sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x .

Аналогично через сумму кубов $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ с $a = sin^{2} x, b = cos^{2} x :$

sin^{6} x + cos^{6} x = (sin^{2} x + cos^{2} x) (sin^{4} x - sin^{2} x cos^{2} x + cos^{4} x) .

Первая скобка $= 1;$ вторая $= (sin^{4} x + cos^{4} x) - sin^{2} x cos^{2} x = (1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x) - sin^{2} x cos^{2} x = 1 - 3 sin^{2} x cos^{2} x .$ Значит

sin^{6} x + cos^{6} x = 1 - 3 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - \frac{3}{4} sin^{2} 2 x .

Мини-свод тригонометрических формул, используемых дальше

Эти формулы применяются в примерах Части III. Без листа формул их нужно помнить наизусть.

ВАЖНОЕ

Рабочий свод

Понижение степени / двойной угол:

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1, sin 2 x = 2 sin x cos x .

Сумма/разность в произведение:

sin α \pm sin β = 2 sin \frac{α \pm β}{2} cos \frac{α \mp β}{2}

cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}, cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2} .

Метод вспомогательного аргумента:

a sin x \pm b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x \pm φ), cos φ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin φ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}} .

Отсюда строгая оценка: $∣ a sin x \pm b cos x ∣ ⩽ a^{2} + b^{2} .$

Геометрический смысл вспомогательного угла

Часть III. Ключевые методы преобразований в уравнениях

Согласно пособиям для абитуриентов МГУ, любое нестандартное уравнение сводится к простейшим одним из следующих путей:

1. Группировка и разложение на множители. Перенеси все слагаемые в левую часть и найди общий множитель. На ОДЗ всего выражения уравнение вида $A \cdot B = 0$ равносильно совокупности: $A = 0$ (при определённом $B$ ) или $B = 0$ (при определённом $A$ ). Если оба множителя определены на всей рассматриваемой области, переход безусловно равносилен.
2. Сведение к однородному уравнению. Если все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень по синусу и косинусу, уравнение делится на $cos^{n} x$ (или $sin^{n} x$ ). Предварительно обязательно доказывается, что $cos x \neq = 0$ (см. блок ошибок).
3. Преобразование сумм в произведения. Используется, когда аргументы кратны (например, $x, 3 x, 5 x, 7 x$ ). Формулы $sin α \pm sin β$ и $cos α \pm cos β$ позволяют получить общие множители.
4. Замена связки $t = sin x \pm cos x .$ Если в уравнении есть и сумма (разность) $sin x \pm cos x,$ и произведение $sin x cos x,$ вводи замену $t;$ произведение выражается через $t^{2},$ а ограничение $∣ t ∣ ⩽ 2$ отсекает лишние корни.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения сложного уравнения

1. Выпиши ОДЗ (знаменатели $\neq = 0,$ подкоренные выражения $⩾ 0,$ аргументы тангенсов $\neq = \frac{π}{2} + π n,$ аргументы логарифмов $> 0$ ).
2. Приведи к одним аргументам. Раскрой двойные и тройные углы, используй формулы приведения.
3. Сверни ФСУ. Ищи скрытые полные квадраты, разности квадратов или суммы кубов.
4. Разложи на множители или примени специфический метод (однородное уравнение, вспомогательный аргумент, замена $t$ ).
5. Отбери корни. Вычеркни серии, не удовлетворяющие ОДЗ или дополнительным условиям (например, при раскрытии модуля) — письменно, перебором чётных/нечётных или подстановкой.

Примеры решения тригонометрических уравнений

Разберём задачи, комбинирующие алгебру и тригонометрию, от базовых идей к уровню ДВИ.

ПРИМЕР 1

Алгебраические блоки в тригонометрии

Реши уравнение: $sin^{4} x + cos^{4} x = \frac{5}{8} .$

ПРИМЕР 2

Кубы, группировка и формулы двойного угла

Реши уравнение: $\frac{sin ^{3} x + cos ^{3} x}{1 - sin x cos x} = cos 2 x .$

ПРИМЕР 3

Замена

t = sin x + cos x

Реши уравнение: $sin x + cos x + sin x cos x = 1 .$

ПРИМЕР 4

Модуль и отбор корней (уровень ДВИ)

Реши уравнение: $sin x + 3 cos x = 2 - 2 cos 2 x .$

Часть IV. Доказательство тождеств и преобразование при ограничениях

На ДВИ встречаются задания не только «реши уравнение», но и «упрости», «докажи тождество». Жанр доказательства тождества требует особой аккуратности: преобразуют одну часть к другой (или обе к общему виду), сохраняя равносильность и явно указывая ОДЗ.

ПРИМЕР B1

доказательство тождества

Докажите тождество: $\frac{1 - cos 2 x + sin 2 x}{1 + cos 2 x + sin 2 x} = t g x$ при $cos x \neq = 0$ и $1 + cos 2 x + sin 2 x \neq = 0 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки при извлечении корня

Ошибка: Преобразовать $1 - cos 2 x$ в $2 sin^{2} x = 2 sin x .$
Правильно: $A^{2} = ∣ A ∣ .$ Верное преобразование: $2 ∣ sin x ∣ .$ Потеря модуля приводит к получению ложных корней и оценке «0 баллов» за задание.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованное деление в однородных уравнениях

Ошибка: В уравнении $a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x = 0$ сразу разделить всё на $cos^{2} x .$
Правильно: Сначала напиши фразу: «Если $cos x = 0,$ то из уравнения следует $a sin^{2} x = 0 ⟹ sin x = 0 .$ Но $sin^{2} x + cos^{2} x = 1 \neq = 0 .$ Противоречие. Значит, $cos x \neq = 0,$ и мы имеем право разделить обе части на $cos^{2} x$ ». На ДВИ за отсутствие этого доказательства снижают балл.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Алгебраические ошибки: расширение и сужение ОДЗ

Ошибка 1 — расширение ОДЗ логарифмом. Замена $lo g_{a} (b c)$ на $lo g_{a} b + lo g_{a} c$ без условия $b, c > 0$ (или $lo g_{a} x^{2}$ на $2 lo g_{a} x$ вместо $2 lo g_{a} ∣ x ∣$ ) добавляет посторонние корни. Правильно: следить за знаками и при чётной степени ставить модуль.
Ошибка 2 — посторонние корни при возведении в квадрат. $f = g$ нельзя просто «возвести в квадрат»: переход неравносилен. Правильно: перейти к системе ${f = g^{2}, g ⩾ 0}$ или сделать проверку найденных корней подстановкой.
Ошибка 3 — деление на ноль. Сокращение на множитель $(x - a)$ или деление обеих частей на выражение, которое может обратиться в ноль, теряет корни. Правильно: случай «делитель $= 0$ » разбирать отдельно.

Что запомнить

Связка $sin x \pm cos x$ и $sin x cos x .$ Если в уравнении есть и сумма, и произведение синуса с косинусом, вводи замену $t = sin x \pm cos x .$ При этом возведение в квадрат даёт $t^{2} = 1 \pm 2 sin x cos x,$ откуда выражается произведение. Обязательно укажи, что $∣ t ∣ ⩽ 2$ (см. разобранный Пример 3). Алгебраический аналог — замена $t = x + \frac{1}{x}$ с $∣ t ∣ ⩾ 2$ (Пример A8).
Базовые ФСУ — в обе стороны. $(a \pm b)^{2},$ $(a \pm b)^{3},$ $a^{2} - b^{2},$ $a^{3} \pm b^{3}$ должны узнаваться мгновенно; разность квадратов $cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x$ часто «прячут» в произведении $(cos x - sin x) (cos x + sin x) .$
Блоки высоких степеней — выводить. Формулы для $sin^{4} x + cos^{4} x$ и $sin^{6} x + cos^{6} x$ получаются за 10 секунд через $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ и сумму кубов (вывод показан в Части II). На ДВИ без листа формул их применение без вывода рискованно.
Алгебра до тригонометрии. Громоздкая дробь, иррациональность или цепочка логарифмов часто решаются чисто алгебраически (рационализация, сокращение, смена основания) — и только потом подключается тригонометрия.
ОДЗ — первая строка решения, а не сноска. Каждое преобразование проверяй на равносильность: не расширилось ли ОДЗ (логарифм, возведение в квадрат), не сузилось ли (сокращение дроби, деление).

Оформление под рубрику ДВИ

На ДВИ оценивают по outcomes-рубрике «±»: важно не только верный ответ, но и полнота обоснований. Лист формул не выдают, поэтому каждое нетабличное тождество либо выводится, либо применяется со ссылкой на стандартную формулу.

✓СОВЕТ

Эталон полного решения

1. ОДЗ — отдельной строкой в начале. Выпиши все ограничения (знаменатели, корни, логарифмы, тангенсы) до преобразований.
2. Каждый нестандартный переход — с обоснованием. «Делим на $cos x,$ так как…», «возводим в квадрат, контролируя знак правой части», «свёртка логарифмов законна, так как аргументы положительны».
3. Блочные формулы — с выводом (хотя бы кратким), если они не входят в школьный минимум.
4. Отбор корней — письменно. Перебор чётности $n$ или подстановка в неравенство/ОДЗ. Просто зачеркнуть точку на круге без пояснения — недостаточно.
5. Ответ — в явном виде, со всеми сериями и указанием $n, k, m \in Z$ (или ОДЗ для тождеств/упрощений).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

За что снимают «±» (балл, а не весь пункт)

Нет ОДЗ / не учтено при отборе корней. Самая частая потеря.
Потерян модуль при $A^{2}$ или при $lo g_{a} x^{2 k} .$
Необоснованное деление на $cos x,$ на $x,$ на множитель $(x - a)$ — без разбора случая « $= 0$ ».
Посторонние корни после возведения в квадрат без проверки/системы.
Использована невыведенная формула, не входящая в стандартный минимум (например, блок $sin^{6} x + cos^{6} x$ без вывода).
Не доведён отбор корней до явного перечня серий; ответ «на круге» вместо аналитического.

✓СОВЕТ

Стратегия экзаменационной тактики

Следи за равносильностью. Проверяющие особо смотрят, не расширилось ли ОДЗ при преобразованиях (замена суммы логарифмов на логарифм произведения, возведение в квадрат иррационального уравнения).
Отбор корней — письменно и подробно. Если при раскрытии модуля или проверке ОДЗ нужно откинуть часть серии $x = α + π n,$ делай это перебором чётных/нечётных $n$ (как в Примерах 3 и 4) или строгой подстановкой в неравенство.
Вспомогательный аргумент вместо квадрата. Если видишь уравнение $a sin x + b cos x = c,$ где $a, b, c$ — числа, не возводи его в квадрат (это даст посторонние корни, которые тяжело отсеивать). Используй введение вспомогательного угла.
Алгебру упрощай раньше тригонометрии. Сначала рационализируй, сократи, приведи логарифмы к одному основанию — нередко уравнение «схлопывается» ещё до тригонометрических формул.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

sin^{4} x + cos^{4} x ?

2.Чему равно

a^{2}

для любого вещественного

a ?

3.При замене

t = x + \frac{1}{x}

(для вещественных

x \neq = 0

) какое ограничение на

t ?

4.Вычисли

lo g_{2} 6 \cdot lo g_{6} 8 .