Площадь грани ABS правильной шестиугольной пирамиды с основанием ABCDEF и вершиной S равна 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания и параллельной плоскости ABS.
Пусть O — центр основания, K и L — середины противоположных сторон AB и DE соответственно, AB=a, SK=l. Треугольник ABS равнобедренный, поэтому SK — его высота. Центральная симметрия правильного шестиугольника переводит K в L, следовательно, O — середина KL. Рассмотрим плоскость SKL. Секущая плоскость проходит через O и параллельна плоскости ABS, поэтому её пересечение с плоскостью SKL — прямая OR, параллельная SK, где Rin SL. В треугольнике SKL точка O — середина KL. По теореме о средней линии R — середина SL, OR= l2. Секущая плоскость пересекает плоскость основания по прямой через O, параллельной AB. В правильном шестиугольнике это диагональ CF, причём CF=2a. В грани SDE прямая через R, параллельная DE, пересекает рёбра SD и SE в их серединах P и Q. Поэтому PQ=(DE)/(2)= a2. Сечение представляет собой трапецию CPQF. Её основания — CF и PQ, а высота равна OR= l2, так как OR SK и SK AB. Площадь грани ABS равна (al)/(2)=4, следовательно, al=8. Поэтому площадь сечения равна (CF+PQ)/(2)* OR =(2a+ a2)/(2)* l2 =(5al)/(8) =5.
$5$