Задача №18704

Пусть $O$ — центр основания, $K$ и $L$ — середины противоположных сторон $AB$ и $DE$ соответственно,

$$AB=a,SK=l.$$

Треугольник $ABS$ равнобедренный, поэтому $SK$ — его высота. Центральная симметрия правильного шестиугольника переводит $K$ в $L\text{,}$ следовательно, $O$ — середина $KL\text{.}$

Рассмотрим плоскость $SKL\text{.}$ Секущая плоскость проходит через $O$ и параллельна плоскости $ABS\text{,}$ поэтому её пересечение с плоскостью $SKL$ — прямая $OR\text{,}$ параллельная $SK\text{,}$ где $R\in SL\text{.}$ В треугольнике $SKL$ точка $O$ — середина $KL\text{.}$ По теореме о средней линии

$$R\text{ - середина }SL,OR=\frac{l}{2}.$$

Секущая плоскость пересекает плоскость основания по прямой через $O\text{,}$ параллельной $AB\text{.}$ В правильном шестиугольнике это диагональ $CF\text{,}$ причём

$$CF=2a.$$

В грани $SDE$ прямая через $R\text{,}$ параллельная $DE\text{,}$ пересекает рёбра $SD$ и $SE$ в их серединах $P$ и $Q\text{.}$ Поэтому

$$PQ=\frac{DE}{2}=\frac{a}{2}.$$

Сечение представляет собой трапецию $CPQF\text{.}$ Её основания — $CF$ и $PQ\text{,}$ а высота равна

$$OR=\frac{l}{2},$$

так как $OR\parallel SK$ и $SK\perp AB\text{.}$

Площадь грани $ABS$ равна

$$\frac{al}{2}=4,$$

следовательно, $al=8\text{.}$ Поэтому площадь сечения равна

$$\frac{CF+PQ}{2}\cdot OR=\frac{2a+\frac{a}{2}}{2}\cdot \frac{l}{2}=\frac{5al}{8}=5.$$