Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ 2026
ЦПК МГУ
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. На дуге AD, не содержащей точек B и C, отмечена точка E. Известно, что AE=1, OE∥AC, диагональ BD делит отрезок OA пополам, а центр I окружности, вписанной в треугольник BCD, лежит на диагонали AC. Найдите длину отрезка OI.
Обозначим радиус исходной окружности через R. Поскольку I — центр вписанной окружности треугольника BCD и I∈AC, прямая CA является биссектрисой угла BCD. Поэтому
∠BCA=∠ACD,а значит, равны дуги BA и AD. Следовательно, A — середина дуги BD, не содержащей C, и OA является серединным перпендикуляром к хорде BD.
Пусть M=OA∩BD. По условию M — середина OA, поэтому
OM=2R.В прямоугольном треугольнике OMB
cos∠BOM=OBOM=21,то есть ∠BOA=60∘. Аналогично ∠AOD=60∘. Таким образом, дуга BAD равна 120∘, и
∠BCD=60∘.Положим
α=∠AOE,0<α<60∘.Так как OE∥AC, имеем ∠OAC=α. Из равенства OA=OC следует
∠AOC=180∘−2α.С учётом порядка точек на окружности дуга BC равна 120∘−2α, а дуга CD равна 120∘+2α. Поэтому углы треугольника BCD равны
∠CBD=60∘+α,∠BCD=60∘,∠BDC=60∘−α.Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника BCD. Радиус его описанной окружности равен R, поэтому
r=4Rsin(30∘+2α)sin30∘sin(30∘−2α)=2R(41−sin22α)=R(cosα−21).По формуле Эйлера для центра описанной окружности и инцентра
OI2=R2−2Rr=2R2(1−cosα)=4R2sin22α.Но AE — хорда, стягивающая центральный угол α, поэтому
AE=2Rsin2α.Следовательно, OI=AE=1.