Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. На дуге AD, не содержащей точек B и C, отмечена точка E. Известно, что AE=1, OE AC, диагональ BD делит отрезок OA пополам, а центр I окружности, вписанной в треугольник BCD, лежит на диагонали AC. Найдите длину отрезка OI.
Обозначим радиус исходной окружности через R. Поскольку I — центр вписанной окружности треугольника BCD и Iin AC, прямая CA является биссектрисой угла BCD. Поэтому BCA= ACD, а значит, равны дуги BA и AD. Следовательно, A — середина дуги BD, не содержащей C, и OA является серединным перпендикуляром к хорде BD. Пусть M=OAn BD. По условию M — середина OA, поэтому OM= R2. В прямоугольном треугольнике OMB cos BOM=(OM)/(OB)=12, то есть BOA=60^. Аналогично AOD=60^. Таким образом, дуга BAD равна 120^, и BCD=60^. Положим alpha= AOE, 0<alpha<60^. Так как OE AC, имеем OAC=alpha. Из равенства OA=OC следует AOC=180^-2alpha. С учётом порядка точек на окружности дуга BC равна 120^-2alpha, а дуга CD равна 120^+2alpha. Поэтому углы треугольника BCD равны CBD=60^+alpha, BCD=60^, BDC=60^-alpha. Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника BCD. Радиус его описанной окружности равен R, поэтому aligned r &=4Rsin(30^+2) 30^ sin(30^-2) &=2R(14-sin^22) =R(-12). aligned По формуле Эйлера для центра описанной окружности и инцентра aligned OI^2 &=R^2-2Rr &=2R^2(1-) =4R^2sin^22. aligned Но AE — хорда, стягивающая центральный угол alpha, поэтому AE=2Rsin2. Следовательно, OI=AE=1.
$1$