Задача №18701

Решите неравенство

$$\sqrt{4{\log }_{x^2}16-{\log }_{2x}32}⩽1.$$

Область определения оснований логарифмов:

$$x>0,x\ne \frac{1}{2},x\ne 1.$$

Положим

$$t={\log }_{2}x,t\ne -1,t\ne 0.$$

Тогда

$${\log }_{x^2}16=\frac{2}{t},{\log }_{2x}32=\frac{5}{t+1},$$

и подкоренное выражение равно

$$R=\frac{8}{t}-\frac{5}{t+1}=\frac{3t+8}{t(t+1)}.$$

Неравенство $\sqrt{R}⩽1$ равносильно системе

$$0⩽R⩽1.$$

Первое неравенство даёт

$$t\in \left[-\frac{8}{3};-1\right)\cup (0;+\infty ).$$

Второе равносильно

$$\frac{(t-4)(t+2)}{t(t+1)}⩾0,$$

откуда

$$t\in (-\infty ;-2]\cup (-1;0)\cup [4;+\infty ).$$

Пересекая найденные множества, получаем

$$t\in \left[-\frac{8}{3};-2\right]\cup [4;+\infty ).$$

Так как $x=2^t\text{,}$ окончательно

$$x\in \left[2^{-8/3};\frac{1}{4}\right]\cup [16;+\infty ).$$