Задача №18700

Решите уравнение

$$\frac{\sin x}{2-\cos x}+\frac{2-\cos x}{\sin x}=\frac{4}{\sqrt{3}}.$$

Область определения задаётся условием $\sin x\ne 0\text{;}$ выражение
$2-\cos x$ всегда положительно.

Положим

$$t=\frac{\sin x}{2-\cos x},t\ne 0.$$

Тогда

$$t+\frac{1}{t}=\frac{4}{\sqrt{3}},$$

откуда

$$\sqrt{3}{t}^2-4t+\sqrt{3}=0,$$ $$t=\sqrt{3}\text{или}t=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Если $t=\sqrt{3}\text{,}$ то

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sqrt{3},$$

что невозможно, поскольку левая часть не превосходит $2\text{.}$

Если $t=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{,}$ то

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2,$$ $$2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=2.$$

Поэтому

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Все эти значения входят в область определения.