Дана последовательность a_1,a_2,a_3, действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном n условию a_(n+2)=a_(n+1)^2+a_(n+1)-a_n^2+2a_n. Найдите все возможные значения суммы первых ста членов этой последовательности, если известно, что a_(101)=a_1, a_(102)=a_2, и при каждом натуральном n справедливо неравенство |a_(n+1)-a_n|<1.
Положим s_n=a_n+a_(n+1), d_n=a_(n+1)-a_n. Из рекуррентного соотношения получаем aligned s_(n+1) &=a_(n+1)+a_(n+2) &=a_(n+1)^2+2a_(n+1)-a_n^2+2a_n &=(a_n+a_(n+1))(a_(n+1)-a_n+2) =s_n(d_n+2). aligned Так как |d_n|<1, каждый множитель d_n+2 строго больше 1. Поэтому s_(101)=s_1_(n=1)^(100)(d_n+2). С другой стороны, из условий a_(101)=a_1 и a_(102)=a_2 следует s_(101)=a_(101)+a_(102)=a_1+a_2=s_1. Произведение в правой части строго больше 1, значит, s_1=0. Тогда из равенства s_(n+1)=s_n(d_n+2) последовательно получаем s_n=0 при всех n, то есть a_(n+1)=-a_n. Следовательно, a_1+a_2++a_(100) =50(a_1+a_2)=0. Значение 0 действительно достигается: при любом |t|<12 последовательность a_n=(-1)^(n-1)t удовлетворяет рекуррентному соотношению, условиям периодичности и неравенству |a_(n+1)-a_n|=2|t|<1.
$0$