Задача №18699

Дана последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n$ условию

$$a_{n+2}=a_{n+1}^2+a_{n+1}-a_n^2+2a_n.$$

Найдите все возможные значения суммы первых ста членов этой последовательности, если известно, что

$$a_{101}=a_1,a_{102}=a_2,$$

и при каждом натуральном $n$ справедливо неравенство

$$|a_{n+1}-a_n|<1.$$

Положим

$$s_n=a_n+a_{n+1},d_n=a_{n+1}-a_n.$$

Из рекуррентного соотношения получаем

$$\begin{array}{rl}{s}_{n+1}& =a_{n+1}+a_{n+2}\\ & =a_{n+1}^2+2a_{n+1}-a_n^2+2a_n\\ & =(a_n+a_{n+1})(a_{n+1}-a_n+2)=s_n(d_n+2).\end{array}$$

Так как $|d_n|<1\text{,}$ каждый множитель $d_n+2$ строго больше $1\text{.}$ Поэтому

$$s_{101}=s_1\prod _{n=1}^{100}(d_n+2).$$

С другой стороны, из условий $a_{101}=a_1$ и $a_{102}=a_2$ следует

$$s_{101}=a_{101}+a_{102}=a_1+a_2=s_1.$$

Произведение в правой части строго больше $1\text{,}$ значит, $s_1=0\text{.}$ Тогда из равенства
$s_{n+1}=s_n(d_n+2)$ последовательно получаем $s_n=0$ при всех $n\text{,}$ то есть

$$a_{n+1}=-a_n.$$

Следовательно,

$$a_1+a_2+\dots +a_{100}=50(a_1+a_2)=0.$$

Значение $0$ действительно достигается: при любом $|t|<\frac{1}{2}$ последовательность

$$a_n=(-1{)}^{n-1}t$$

удовлетворяет рекуррентному соотношению, условиям периодичности и неравенству
$|a_{n+1}-a_n|=2|t|<1\text{.}$