Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a^2x^3-8ax^2+7(1-a)x+7=0 имеет ровно два решения.
Разложим многочлен на множители: a^2x^3-8ax^2+7(1-a)x+7 =(ax-1)(ax^2-7x-7). При a=0 получается линейное уравнение 7x+7=0, имеющее одно решение. Далее считаем a0. Первый множитель даёт корень x=1a. Дискриминант квадратного множителя равен =49+28a=7(7+4a). Ровно два различных действительных корня возникают в двух случаях. Первый случай: квадратный множитель имеет двойной корень: =0, a=-74. Его корень -2 отличается от корня -47 первого множителя. Второй случай: квадратный множитель имеет два различных корня, но один из них совпадает с 1a. Подставляя это значение в квадратный множитель, получаем a(1a)^2 -7(1a)-7=0, -6a-7=0, a=-67. При этом различными корнями всего уравнения являются -7 и -76. Других возможностей для кубического уравнения иметь ровно два различных действительных корня нет.
$a\in\left\{-\dfrac74;-\dfrac67\right\}$