Задача №18698

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$a^2{x}^3-8a{x}^2+7(1-a)x+7=0$$

имеет ровно два решения.

Разложим многочлен на множители:

$$a^2{x}^3-8a{x}^2+7(1-a)x+7=(ax-1)(a{x}^2-7x-7).$$

При $a=0$ получается линейное уравнение $7x+7=0\text{,}$ имеющее одно решение. Далее считаем $a\ne 0\text{.}$ Первый множитель даёт корень

$$x=\frac{1}{a}.$$

Дискриминант квадратного множителя равен

$$\Delta =49+28a=7(7+4a).$$

Ровно два различных действительных корня возникают в двух случаях.

Первый случай: квадратный множитель имеет двойной корень:

$$\Delta =0,a=-\frac{7}{4}.$$

Его корень $-2$ отличается от корня $-\frac{4}{7}$ первого множителя.

Второй случай: квадратный множитель имеет два различных корня, но один из них совпадает с $\frac{1}{a}\text{.}$ Подставляя это значение в квадратный множитель, получаем

$$a{\left(\frac{1}{a}\right)}^2-7\left(\frac{1}{a}\right)-7=0,$$ $$-\frac{6}{a}-7=0,a=-\frac{6}{7}.$$

При этом различными корнями всего уравнения являются $-7$ и $-\frac{7}{6}\text{.}$

Других возможностей для кубического уравнения иметь ровно два различных действительных корня нет.