Сумма квадратов первого члена и разности арифметической прогрессии не превосходит 4. Найдите максимально возможное при таких условиях значение суммы её первых девяти членов.
Пусть a — первый член, а d — разность прогрессии. По условию a^2+d^24. Сумма первых девяти членов равна S_9=92(2a+8d)=9(a+4d). По неравенству Коши a+4d(a^2+d^2)sqrt(1^2+4^2) 2sqrt(17). Следовательно, S_918sqrt(17). Равенство достигается, например, при a=2sqrt(17), d=8sqrt(17). Поэтому найденная верхняя граница является наибольшим возможным значением.
$18\sqrt{17}$