Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 25, а длина его биссектрисы, проведённой к гипотенузе, равна 5.
Пусть a и b — катеты, c — гипотенуза, а l — биссектриса прямого угла. Из условия о площади (ab)/(2)=25, ab=50. По теореме о длине биссектрисы l^2=ab(1-(c^2)/((a+b)^2)). Так как c^2=a^2+b^2, отсюда l=(2ab)/(a+b). Следовательно, 5=(502)/(a+b), a+b=10sqrt(10). Теперь по теореме Пифагора c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1000-100=900. Значит, c=30.
$30$