Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 25, а длина его биссектрисы, проведённой к гипотенузе, равна 5.

Задача №18693: Планиметрия

Пусть $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, а $l$ — биссектриса прямого угла. Из условия о площади

\frac{ab}{2} = 25, ab = 50.

По теореме о длине биссектрисы

l^{2} = ab (1 - \frac{c ^{2}}{( a + b ) ^{2}}) .

Так как $c^{2} = a^{2} + b^{2},$ отсюда

l = \frac{2 ab}{a + b} .

Следовательно,

5 = \frac{50 2}{a + b}, a + b = 1010 .

Теперь по теореме Пифагора

c^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 1000 - 100 = 900.

Значит, $c = 30 .$