Задача №18691

Решите неравенство

$$\frac{x}{2+\frac{3}{x+\frac{2}{x-3}}}⩾0.$$

Сначала выпишем ограничения исходного выражения. Должны быть определены все дроби, а знаменатели не должны обращаться в нуль. В результате

$$x\notin \left\{-1,1,2,\frac{5}{2},3\right\}.$$

На этой области допустимых значений

$$x+\frac{2}{x-3}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-3},$$

поэтому

$$\frac{x}{2+\frac{3}{x+\frac{2}{x-3}}}=\frac{x(x-1)(x-2)}{(x+1)(2x-5)}.$$

Применяя метод интервалов и учитывая выколотые точки $1\text{,}$ $2$ и $3\text{,}$ получаем

$$x\in (-1;0]\cup (1;2)\cup \left(\frac{5}{2};3\right)\cup (3;+\infty ).$$