Задача №18686

Найдите значение выражения

$$\sqrt{8}\mathrm{tg}\frac{x}{2},$$

если

$$\cos x=-\frac{1}{3},x\in \left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right].$$

На указанном промежутке $\sin x<0\text{.}$ Поэтому из основного тригонометрического тождества

$$\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Используем формулу половинного угла:

$$\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{-2\sqrt{2}/3}{2/3}=-\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\sqrt{8}\mathrm{tg}\frac{x}{2}=2\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})=-4.$$