Задача №18682

Решите уравнение

$$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=x-2.$$

В ответ запишите сумму квадратов всех корней уравнения.

Область допустимых значений: $x⩾1\text{.}$ Рационализуем левую часть:

$$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=\frac{{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\right)}^2}{2}=x-\sqrt{x^2-1}.$$

Следовательно,

$$x-\sqrt{x^2-1}=x-2,$$ $$\sqrt{x^2-1}=2.$$

С учётом ОДЗ получаем единственный корень $x=\sqrt{5}\text{.}$ Поэтому сумма квадратов всех корней равна

$$x^2=5.$$