Задача №18680

Пусть $M$ — середина высоты правильного тетраэдра $ABCD\text{,}$ опущенной из вершины $D\text{.}$ Найдите угол между прямой $AM$ и плоскостью $BMC\text{.}$

Пусть $O$ — основание высоты $DO\text{,}$ а ребро правильного тетраэдра равно $s\text{.}$ Точка $O$ является центром равностороннего треугольника $ABC\text{,}$ поэтому

Высота правильного тетраэдра равна $s\sqrt{\frac{2}{3}}\text{,}$ а $M$ — её середина. Значит,

Так как $DO\perp (ABC)\text{,}$ по теореме Пифагора

Следовательно,

По обратной теореме Пифагора

Прямые $BM$ и $CM$ пересекаются и лежат в плоскости $BMC\text{,}$ поэтому

Искомый угол равен $90^{\circ }\text{.}$