Пусть M — середина высоты правильного тетраэдра ABCD, опущенной из вершины D. Найдите угол между прямой AM и плоскостью BMC.
Пусть O — основание высоты DO, а ребро правильного тетраэдра равно s. Точка O является центром равностороннего треугольника ABC, поэтому AO=BO=CO=(s)/(3). Высота правильного тетраэдра равна ssqrt(23), а M — её середина. Значит, OM=(s)/(6). Так как DO(ABC), по теореме Пифагора AM^2=BM^2=CM^2 =(s^2)/(3)+(s^2)/(6) =(s^2)/(2). Следовательно, AM^2+BM^2=s^2=AB^2, AM^2+CM^2=s^2=AC^2. По обратной теореме Пифагора AM BM, AM CM. Прямые BM и CM пересекаются и лежат в плоскости BMC, поэтому AM(BMC). Искомый угол равен 90^.
$90^\circ$