Задача №18676

Решите уравнение

$$3(\mathrm{tg}x-1)(\mathrm{tg}x+1)=2\mathrm{tg}x\mathrm{tg}4x.$$

Исходное уравнение определено при

$$\cos x\ne 0,\cos 4x\ne 0.$$

Умножая его на ${\cos }^{2}x\cos 4x\text{,}$ получаем

$$3\cos 2x\cos 4x+\sin 2x\sin 4x=0.$$

По формулам произведения это равносильно

$$2\cos 2x+\cos 6x=0.$$

Положим $u=\cos 2x\text{.}$ Так как $\cos 6x=4u^3-3u\text{,}$ имеем

$$4u^3-u=u(2u-1)(2u+1)=0.$$

Отсюда $\cos 2x=0$ или $\cos 2x=\pm \frac{1}{2}\text{.}$ Получаем

$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},$$ $$x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,$$ $$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Все найденные значения удовлетворяют ограничениям области определения.