Дана последовательность a_1,a_2,a_3, положительных действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном n условию a_(n+1)=(na_n)/(a_n^2+n-1). Найдите сумму первых 2026 членов этой последовательности, если известно, что a_(2027)=1.
Перепишем рекуррентное соотношение: (n)/(a_(n+1))=a_n+(n-1)/(a_n). Положим b_n=(n-1)/(a_n). Тогда b_1=0, а исходное равенство принимает вид b_(n+1)=a_n+b_n. Следовательно, a_n=b_(n+1)-b_n. Сумма телескопируется: a_1+a_2++a_(2026)=b_(2027)-b_1 =(2026)/(a_(2027))=2026.
$2026$