Задача №18675

Дана последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ положительных действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n$ условию

$$a_{n+1}=\frac{n{a}_n}{a_n^2+n-1}.$$

Найдите сумму первых $2026$ членов этой последовательности, если известно, что $a_{2027}=1\text{.}$

Перепишем рекуррентное соотношение:

$$\frac{n}{a_{n+1}}=a_n+\frac{n-1}{a_n}.$$

Положим

$$b_n=\frac{n-1}{a_n}.$$

Тогда $b_1=0\text{,}$ а исходное равенство принимает вид

$$b_{n+1}=a_n+b_n.$$

Следовательно,

$$a_n=b_{n+1}-b_n.$$

Сумма телескопируется:

$$a_1+a_2+\dots +a_{2026}=b_{2027}-b_1=\frac{2026}{a_{2027}}=2026.$$