Задача №18669

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$$(a-1)x^2+ax+1=0$$

имеет единственное решение. Если таких значений несколько, то в ответ запишите сумму этих значений.

Сначала рассмотрим случай, когда уравнение перестаёт быть квадратным. При $a=1$ оно принимает вид

$$x+1=0$$

и имеет единственное решение.

Пусть теперь $a\ne 1\text{.}$ Тогда уравнение квадратное и имеет единственный действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

$$D=a^2-4(a-1)=(a-2{)}^2=0.$$

Отсюда $a=2\text{.}$ Искомая сумма равна

$$1+2=3.$$