Задача №18664

Дана прямая треугольная призма с основанием $ABC$ и боковыми рёбрами $A{A}_1\text{,}$ $B{B}_1\text{,}$ $C{C}_1\text{,}$ описанная около сферы радиуса $1\text{.}$ Найдите объём этой призмы, если известно, что угол между прямой $A{B}_1$ и плоскостью $A{A}_{1}C$ равен углу между этой прямой и плоскостью $B{B}_{1}C\text{,}$ а угол между прямой $A{C}_1$ и плоскостью $A{A}_{1}B$ равен углу между этой прямой и плоскостью $B{B}_{1}C\text{.}$

Обозначим

а через $S$ — площадь основания и через $h$ — высоту призмы. Боковые грани прямой призмы перпендикулярны основанию, поэтому их нормали горизонтальны.

Для прямой $A{B}_1$ имеем

Равенство этих углов даёт $a=b\text{.}$ Аналогично для прямой $A{C}_1\text{:}$

откуда $a=c\text{.}$ Следовательно, основание призмы — равносторонний треугольник.

Сфера радиуса $1$ касается обоих оснований, поэтому $h=2\text{.}$ Её центр проектируется в центр вписанной окружности основания, радиус которой также равен $1\text{.}$ Для равностороннего треугольника тогда

Значит,