Дана прямая треугольная призма с основанием ABC и боковыми рёбрами AA_1, BB_1, CC_1, описанная около сферы радиуса 1. Найдите объём этой призмы, если известно, что угол между прямой AB_1 и плоскостью AA_1C равен углу между этой прямой и плоскостью BB_1C, а угол между прямой AC_1 и плоскостью AA_1B равен углу между этой прямой и плоскостью BB_1C.
Обозначим a=BC, b=CA, c=AB, а через S — площадь основания и через h — высоту призмы. Боковые грани прямой призмы перпендикулярны основанию, поэтому их нормали горизонтальны. Для прямой AB_1 имеем sin(AB_1,AA_1C)=(2S/b)/(sqrt(c^2+h^2)), sin(AB_1,BB_1C)=(2S/a)/(sqrt(c^2+h^2)). Равенство этих углов даёт a=b. Аналогично для прямой AC_1: sin(AC_1,AA_1B)=(2S/c)/(sqrt(b^2+h^2)), sin(AC_1,BB_1C)=(2S/a)/(sqrt(b^2+h^2)), откуда a=c. Следовательно, основание призмы — равносторонний треугольник. Сфера радиуса 1 касается обоих оснований, поэтому h=2. Её центр проектируется в центр вписанной окружности основания, радиус которой также равен 1. Для равностороннего треугольника тогда a=23, S=(3)/(4)a^2=33. Значит, V=Sh=33*2=63.
$V=6\sqrt3$