Задача №18663

Даны действительные числа $a,b,c\text{,}$ удовлетворяющие неравенствам $a⩾b⩾c$ и равенству

$$a^2+b^2+c^2=4.$$

Найдите наибольшее возможное значение выражения

$$(a-b)(b-c)(a+b+c{)}^2.$$

Положим

$$x=a-b\ge 0,y=b-c\ge 0,s=a+b+c.$$

Тогда

$$a^2+b^2+c^2=\frac{s^2}{3}+\frac{2}{3}(x^2+xy+y^2),$$

поэтому условие равносильно

$$s^2+2(x^2+xy+y^2)=12.$$

Искомое выражение равно $xy{s}^2\text{.}$ Так как

$$x^2+xy+y^2\ge 3xy,$$

то, обозначив $p=xy\text{,}$ получаем $0\le p\le 2$ и

$$xy{s}^2\le p(12-6p)=6-6(p-1{)}^2\le 6.$$

Равенство достигается при $x=y=1$ и $s^2=6\text{.}$ Например, подходят числа

$$a=\sqrt{\frac{2}{3}}+1,b=\sqrt{\frac{2}{3}},c=\sqrt{\frac{2}{3}}-1.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $6\text{.}$