Задача №18662

Высоты $BD$ и $CE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H\text{.}$ Точка $K$ — середина отрезка $AH\text{,}$ точка $M$ — середина отрезка $BC\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если известно, что $DE=1$ и что

$$\angle DKE=\angle DME.$$

Точки $D$ и $E$ — основания высот, $M$ — середина стороны $BC\text{,}$ а $K$ — середина отрезка от вершины $A$ до ортоцентра $H\text{.}$ Поэтому все четыре точки лежат на девятиточечной окружности треугольника $ABC\text{.}$

Проверим, на каких сторонах хорды $DE$ лежат $K$ и $M\text{.}$ Положим

$$A=(0,0),B=(c,0),C=(b\cos \alpha ,b\sin \alpha ),$$

где $\alpha =\angle BAC$ и $a=BC\text{.}$ Из координат оснований высот, ортоцентра и середин отрезков прямым вычислением получаем

$$\det \left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EK}\right)=\frac{a^2{\cos }^3\alpha }{2\sin \alpha }>0,$$ $$\det \left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EM}\right)=-\frac{a^2\sin \alpha \cos \alpha }{2}<0.$$

Здесь использовано, что треугольник остроугольный. Значит, $K$ и $M$ лежат по разные стороны от прямой $DE\text{.}$

Вписанные углы $\angle DKE$ и $\angle DME\text{,}$ опирающиеся на хорду $DE$ с разных сторон, в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ По условию они равны, следовательно, оба равны $90^{\circ }\text{.}$ Поэтому $DE$ — диаметр девятиточечной окружности.

Радиус девятиточечной окружности равен $\frac{R}{2}\text{,}$ где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC\text{.}$ Значит, её диаметр равен $R\text{.}$ Так как $DE=1\text{,}$ получаем

$$R=1.$$