Высоты BD и CE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка K — середина отрезка AH, точка M — середина отрезка BC. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что DE=1 и что DKE= DME.
Точки D и E — основания высот, M — середина стороны BC, а K — середина отрезка от вершины A до ортоцентра H. Поэтому все четыре точки лежат на девятиточечной окружности треугольника ABC. Проверим, на каких сторонах хорды DE лежат K и M. Положим A=(0,0), B=(c,0), C=(b,b), где alpha= BAC и a=BC. Из координат оснований высот, ортоцентра и середин отрезков прямым вычислением получаем (ED,EK) =(a^2cos^3alpha)/(2)>0, (ED,EM) =-(a^2)/(2)<0. Здесь использовано, что треугольник остроугольный. Значит, K и M лежат по разные стороны от прямой DE. Вписанные углы DKE и DME, опирающиеся на хорду DE с разных сторон, в сумме дают 180^. По условию они равны, следовательно, оба равны 90^. Поэтому DE — диаметр девятиточечной окружности. Радиус девятиточечной окружности равен R2, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC. Значит, её диаметр равен R. Так как DE=1, получаем R=1.
$R=1$