Задача №18661

Решите неравенство

$${\log }_{x+3}\frac{4x^2+3}{8x+20}⩽1.$$

Числитель дроби положителен при всех $x\text{.}$ Условия существования логарифма дают

$$x>-\frac{5}{2},x\ne -2.$$

Сравним аргумент логарифма с основанием:

$$\frac{4x^2+3}{8x+20}-(x+3)=-\frac{(2x+3)(2x+19)}{8x+20}.$$

Если $-\frac{5}{2}<x<-2\text{,}$ то $0<x+3<1\text{,}$ поэтому логарифмическая функция убывает и требуется

$$\frac{4x^2+3}{8x+20}\ge x+3.$$

На всём этом промежутке неравенство выполняется.

Если $x>-2\text{,}$ то $x+3>1\text{,}$ поэтому требуется противоположное сравнение:

$$\frac{4x^2+3}{8x+20}\le x+3.$$

При $x>-2$ оно равносильно $x\ge -\frac{3}{2}\text{.}$ Следовательно,

$$x\in \left(-\frac{5}{2};-2\right)\cup \left[-\frac{3}{2};+\infty \right).$$