Задача №18660

Решите уравнение

$$1+\sin x+\sin 3x+\sin 5x=4{\cos }^{2}x.$$

Используем формулы

$$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x,1+2\cos 2x=4{\cos }^{2}x-1.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид

$$1+(4{\cos }^{2}x-1)\sin 3x=4{\cos }^{2}x,$$

то есть

$$(4{\cos }^{2}x-1)(\sin 3x-1)=0.$$

Из первого множителя получаем ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}\text{,}$ откуда

$$x=\pi k\pm \frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$

Из второго множителя получаем $\sin 3x=1\text{,}$ поэтому

$$3x=\frac{\pi }{2}+2\pi k⟹x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}.$$