Задача №18659

Найдите в явном виде натуральное число, равное

$$100+\frac{1}{2}\left(99+\frac{1}{2}\left(98+\dots +\frac{1}{2}\left(4+\frac{1}{2}\left(3+\frac{1}{2}\cdot 2\right)\right)\dots \right)\right).$$

Обозначим через $S_n$ выражение, которое заканчивается числом $n\text{:}$

$$S_2=2,S_n=n+\frac{1}{2}{S}_{n-1}(n\ge 3).$$

Докажем по индукции, что $S_n=2n-2\text{.}$ Для $n=2$ равенство верно. Если $S_{n-1}=2n-4\text{,}$ то

$$S_n=n+\frac{1}{2}(2n-4)=2n-2.$$

Искомое выражение равно $S_{100}\text{,}$ поэтому

$$S_{100}=2\cdot 100-2=198.$$